26、椭圆曲线配对计算与GLV方法加速指数运算

椭圆曲线配对计算与GLV方法加速指数运算

1. 引言

在密码学领域，椭圆曲线配对是一个重要的研究方向。设 $r$ 为素数，$G_1$、$G_2$ 和 $G_T$ 是阶为 $r$ 的循环群，存在双线性配对 $e: G_1 \times G_2 \to G_T$。实际应用中，$G_1$ 是有限域 $\mathbb{F} p$ 上椭圆曲线 $E$ 上的点集，$G_2$ 是 $E$ 的扭曲曲线 $E’$ 在 $\mathbb{F} {p^e}$ 上的点集，$G_T$ 是 $\mathbb{F}_{p^k}$ 的一个子群，其中 $k$ 为嵌入度。

普通椭圆曲线上的配对相较于超奇异曲线上的配对，通常需要更大的 $G_2$ 群，这使得在某些配对协议中，$G_2$ 上的点操作可能比 $G_1$ 上的操作更昂贵。然而，通过 Gallant - Lambert - Vanstone（GLV）方法，利用有限域 $\mathbb{F}_{p^k}$ 上的 Frobenius 映射得到的群同态，可以加速 $G_2$ 和 $G_T$ 中的运算。

本文的主要贡献包括：
1. 使用 GLV 方法加速 $G_2$ 和 $G_T$ 中的算术运算。
2. 表明对于配对友好曲线，尤其是 Ate 友好曲线，通常可以进行更简单的 GLV 指数分解，无需进行格约简预计算。
3. 指出 Ate 友好曲线的参数可用于 XTR 和基于环面的密码学。
4. 说明该方法可用于为 Pollard rho 方法获得更大的等价类。

2. 椭圆曲线与配对

设 $E$ 是有限域 $\mathbb{F} p$（$p$ 为素数）上的椭圆曲线，$\