4、射影坐标下亏格 2 曲线的高效配对计算

射影坐标下亏格 2 曲线的高效配对计算

1. 引言

在配对计算中，最终指数运算起着关键作用，并且我们通常假设嵌入度 $k$ 大于 1。配对计算在密码学等领域有着重要的应用，而高效的配对计算方法对于提高系统性能至关重要。

2. Miller 算法

计算 Tate 配对 $\langle D_1, D_2 \rangle_n$ 的主要任务是构建一个有理函数 $f_{n,D_1}$，使得 $\text{div}(f_{n,D_1}) = nD_1$。Miller 提出了一种多项式时间算法，即 Miller 算法，最初用于椭圆曲线上 Weil 配对的计算，不过该算法也能轻松适配到超椭圆曲线上 Tate 配对的计算。

设 $G_{iD_1,jD_1} \in \mathbb{F} {q^k}(C)^*$ 是一个有理函数，满足 $\text{div}(G {iD_1,jD_1}) = iD_1 + jD_1 - (iD_1 \oplus jD_1)$，其中 $\oplus$ 是雅可比簇 $J_C$ 上的群运算，且 $(iD_1 \oplus jD_1)$ 是约化的。Miller 算法基于以下迭代公式构建有理函数 $f_{n,D_1}$：
$f_{i + j,D_1} = f_{i,D_1}f_{j,D_1}G_{iD_1,jD_1}$

下面是计算超椭圆曲线上约化 Tate 配对的 Miller 算法基本版本：

算法 1. 超椭圆曲线的 Miller 算法（基本版本）
输入: $D_1 \in J_C(\mathbb{F}_{q^k