18、利用分圆多项式因式分解构造配对友好椭圆曲线

利用分圆多项式因式分解构造配对友好椭圆曲线

1. 引言

近年来，基于配对的密码学方案研究备受关注，许多新颖的协议相继被提出。这些协议需要具有特殊性质的椭圆曲线，即嵌入度足够小且曲线有大素数阶子群。然而，随机选取的曲线通常不具备这些特性，因此系统地构造“配对友好”椭圆曲线，尤其是高嵌入度曲线，成为未来密码学领域极具吸引力的问题。

设 $q$ 是一个大素数幂，$E: y^2 = x^3 + Ax + B$ 是定义在有限域 $F_q$ 上的椭圆曲线。设 $r$ 是整除 $#E(F_q) = q + 1 - t$ 的最大素数，其中 $t$ 是弗罗贝尼乌斯迹。当 $q$ 为素数时，使得 $r$ 整除 $q^k - 1$ 的最小正整数 $k$ 被称为嵌入度。构造配对友好椭圆曲线所需的参数包括 $t$、$r$、$q$、$k$ 以及用于复乘法（CM）方法的 CM 判别式 $D$。

2. 配对友好曲线

为了更好地理解和构造配对友好椭圆曲线，我们需要引入一些基本定义。

2.1 配对曲线族

• 定义 1 ：假设 $E$ 是定义在 $F_q$ 上的椭圆曲线，若满足以下条件，则称 $E$ 为配对友好曲线：
  • 存在一个素数 $r \geq \sqrt{q}$，使得 $r$ 整除 $#E(F_q)$。
  • $E$ 相对于 $r$ 的嵌入度小于 $(\lg r)/8$。
• 定义 2 ：设 $f(x)$ 是具有有理系数的多项式，若满足以下条件，则称 $f$ 表