28、椭圆曲线与密码学：Weil配对的应用及相关算法

椭圆曲线与密码学：Weil配对的应用及相关算法

1. 引言

椭圆曲线在密码学领域有着广泛的应用，如椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）在密钥交换和加密算法中起着关键作用。Weil配对作为椭圆曲线密码学中的重要工具，不仅可以用于解决ECDLP，还能实现一些创新的密码学应用，如三方Diffie - Hellman密钥交换和基于身份的公钥密码系统。本文将深入探讨这些应用，并结合具体例子进行说明。

2. MOV方法求解ECDLP

2.1 示例

考虑曲线 $E$，素数 $p = 547$，点 $P = (67, 481)$ 和 $Q = (167, 405) \in E(F_{547})$。通过失真映射得到 $\varphi(Q) = (380, 405i)$，随机选取点 $S = (402 + 397i, 271 + 205i) \in E(F_{547^2})$ 来计算：
$\hat{e} {547}(P, Q) = e {547}(P, \varphi(Q)) = \frac{368 + 305i}{348 + 66i} \cdot \frac{320 + 206i}{175 + 351i} = 530 + 455i \in F_{547^2}$
已知 $\hat{e} {137}(P, P) = 37 + 452i$，则需要在 $F {547^2}$ 中求解离散对数问题（DLP）：
$(37 + 452i)^n = 530 + 455i$
该DLP的解为 $n = 83$，根据MOV算法，$n = 83$ 也是ECDLP的解，可通过验证 $Q = 83P$ 来确认。