10、具有一阶CM方程的配对友好曲线生成

具有一阶CM方程的配对友好曲线生成

1. 引言

近年来，基于配对的密码学研究备受关注。自2000年以来，基于密码配对提出了许多新协议，如基于身份的密钥交换、一轮三方密钥协商、基于身份的加密和短数字签名等。

为了实际实现这些协议，需要使用特殊曲线，即配对友好曲线。这类曲线有一个大素数阶子群，且嵌入度足够小，以保证在有限域中的计算可行。一种方法是使用超奇异椭圆曲线，但这类曲线的嵌入度局限于{1, 2, 3, 4, 6}。另一种方法是使用具有小嵌入度的普通椭圆曲线，但根据相关研究，这类曲线较为罕见，因此需要开发构造合适配对友好曲线的算法。

Brezing和Weng方法是一种常用的构造方法，它通过使用分圆域或其扩展域的定义多项式r(x)来生成曲线的多项式族。通常，分圆域Q(ζk)的定义多项式是第k个分圆多项式Φk(x)，但使用Φk(u(x))的不可约因子可以得到不同的定义多项式。基于此，一些研究人员构造出了素数阶的配对友好椭圆曲线。

在使用Φk(u(x))因式分解的方法中，难点在于如何选择u(x)以产生Φk(u(x))的不可约因子。Galbraith、Mckee和Valenca以及Tanaka和Nakamula分别提出了解决方案。研究发现，Tanaka和Nakamula的方法可以通过基变换矩阵来描述，基于此可以对Q(ζk)的基进行完全分类，从而避免穷举搜索来寻找合适的u(x)。同时，还提出了一种新算法来构造具有一阶CM方程的类Brezing - Weng椭圆曲线，并给出了具有较大判别式（小于10¹⁰）的新曲线族。

2. 配对友好椭圆曲线

• 定义 ：设E是定义在素有限域Fq上的椭圆曲线，r