9、等几何分析中的数值积分与二阶椭圆常微分方程研究

等几何分析中的数值积分与二阶椭圆常微分方程研究

1. 加权残值法与等几何分析的结合

在相关研究中，当引入等几何分析（IGA）对加权残值法（MWR）进行扩展时，会有一些变化。原本的全局空间近似项 $h_k(x)$ 会被一组分段空间基函数 $N_k(x)$ 所取代。微分算子作用于这些基函数后，会用 $B_k(x)$ 来表示，替代原来的全局 $b_k(x)$。而且，空间近似不需要提前满足本质边界条件，这意味着矩阵系统只需满足积分形式，在求解未知常数（和反力）之前，必须对其进行修改以包含本质边界条件。

加权残值法有不同的形式，如伽辽金加权残值和最小二乘加权残值：
- 伽辽金加权残值：$\int_{\Omega} \frac{\partial u(x)}{\partial D_k} R_{\Omega}(x) dx = 0_k$，其中 $1 \leq k \leq n$。
- 最小二乘加权残值：$\int_{\Omega} \frac{\partial R_{\Omega}(x)}{\partial D_k} R_{\Omega}(x) dx = 0_k$，其中 $1 \leq k \leq n$。

等几何分析的分段扩展形式为：$\Omega = \cup_e \Omega_e$，即非重叠补丁的并集，在 $\Omega_e \subset \Omega$ 中，$u(x) = \sum_{k} N_k(x) D_{k}^{e}$，且 $\int_{\Omega} R_{\Omega}(x) w_k(x) dx = \sum_{e} \int_{\Omega_e} R_{\Omega_e}(x) w_{\Omega_e}^{k}(x) dx$。

2.