13、基于B样条的二阶椭圆常微分方程热传导与对流问题分析

基于B样条的二阶椭圆常微分方程热传导与对流问题分析

1. 热传导问题分析

1.1 烟囱壁热传导模型

考虑一个由三种材料组成的烟囱壁的稳态热传递问题。烟囱内部温度为1500°F，依次由9英寸厚、热导率$k_f = 0.72$ BTU/(hr ft F)的耐火砖，5英寸厚、热导率$k_i = 0.08$ BTU/(hr ft °F)的隔热材料，以及7.5英寸厚、热导率$k_r = 0.50$ BTU/(hr ft °F)的红砖组成，外部表面温度为150°F。

在没有内部热源和对流的情况下，热传导的微分方程为：
[k A \frac{d^2T}{dx^2} = 0]
其中，$k$为热导率，$A$为垂直于$x$方向的面积，$T$为温度。对该方程进行两次积分可知，在两个狄利克雷边界条件之间，温度分布应为分段线性。

1.2 基函数与传导矩阵

使用三面板模型和最简单的单跨二次B样条。二次分析节点向量$A_u = {0, 0, 0, 1, 1, 1}$创建的基函数及其导数如下表所示：
| 序号 | 基函数$N(u)$ | 导数$\frac{dN(u)}{du}$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 1 | $[(u - 1)^2]$ | $[(2u - 2)]$ |
| 2 | $[2u(1 - u)]$ | $[(2 - 4u)]$ |
| 3 | $[u^2]$ | $[2u]$ |
| 跨度 | $[0, 1)$ |

当分析点（AP）等间距分布时，每个面板的雅可比行列式为常数$|J_{u:L}| = L_x$，从而得到每个面板