7、等几何分析中的偏微分方程与边界条件解析

等几何分析中的偏微分方程与边界条件解析

1. 物理长度计算与相关概念

在工程分析里，物理长度的贡献需要通过对节点区间进行积分并求和来评估。物理长度 $L_r$ 的计算公式如下：
[
L_r = \sum_{e = 1}^{n_e - 1} \int_{u_e}^{u_{e + 1}} |J(u)| du \approx \sum_{e = 1}^{n_e - 1} (u_{e + 1} - u_e) \sum_{q = 1}^{n_q} |J(u_q)| w_q
]
其中 $u_e \leq u_q < u_{e + 1}$，还可近似表示为：
[
L_r \approx \sum_{e = 1}^{n_e - 1} (u_{e + 1} - u_e) \sum_{q = 1}^{n_q} \sqrt{\left(\frac{dx(u_q)}{du}\right)^2 + \left(\frac{dy(u_q)}{du}\right)^2} w_q
]

同时，我们还涉及到雅可比矩阵及其行列式、微分体积、物理导数和物理积分等重要概念：
- 雅可比矩阵与行列式 ：
- 雅可比矩阵 $[J_r (\cdots)] = \frac{\partial N(\cdots)}{\partial \cdots} x_r$
- 行列式 $|J(\cdots)| = \det ([J_r (\cdots)])$
- 微分体积 ：
- 一维：$dx = |J(r)| dr = \left|\frac{\partial x(r