10、基于B样条的二阶椭圆常微分方程分析

基于B样条的二阶椭圆常微分方程分析

1. 位移表示与基本假设

在分析中，位移通常有三个分量，在固体力学文献中常表示为 ${\delta}^T = [\delta_x(x, y, z) \ \delta_y(x, y, z) \ \delta_z(x, y, z)]$。对于一维情况，为简化起见，使用 $\delta \equiv \delta_x$。这里避免使用 ${\delta}^T = [u(x, y, z) \ v(x, y, z) \ w(x, y, z)]$ 的表示，以免与定义IGA基函数的参数坐标 $u$ 混淆。

2. 从常微分方程到积分形式

运用Galerkin加权残值法，将残值乘以近似空间形式并令其积分等于零，得到等效积分形式：
[I = \int_{0}^{L} \delta(x) \left(-\frac{d}{dx} \left(E(x)A(x)\frac{d\delta(x)}{dx}\right) - w(x)\right) dx \equiv 0]
假设位移约束发生在杆的一端，利用格林定理（分部积分）对第一项进行变换：
[I = -\left[\delta(x) \left(E(x)A(x)\frac{d\delta(x)}{dn}\right)\right] 0^L + \int {0}^{L} \left(\frac{d\delta(x)}{dx} E(x)A(x)\frac{d\delta(x)}{dx}\right) dx - \int_{0}^{L} \delta(x) w(x) dx \equiv 0]
其中，解的法向梯度 $\frac{d\delta}{dn}$ 是梯度向量与