32、矩阵分析与相关数学知识详解

矩阵分析与相关数学知识详解

1. 矩阵基础定义

• 矩阵表示 ：设(A)是一个(m\times n)矩阵，其元素为(a_{ij})，(i = 1,2,\cdots,m)；(j = 1,2,\cdots,n)，可简写为(A = [a_{ij}])。
• 转置矩阵 ：(A)的转置矩阵(A^T)是一个(n\times m)矩阵，其元素为(a_{ji})，即([A^T] {ij}=a {ji})。例如，若(A=\begin{bmatrix}1&2\4&9\3&1\end{bmatrix})，则(A^T=\begin{bmatrix}1&4&3\2&9&1\end{bmatrix})。
• 方阵 ：当(m = n)时，矩阵(A)为方阵。若(A^T = A)，则方阵(A)是对称矩阵。
• 矩阵的秩 ：矩阵的秩是其线性无关的行或列的数量，取较小者。
• 逆矩阵 ：对于(n\times n)方阵(A)，若存在(A^{-1})使得(AA^{-1}=A^{-1}A = I)，其中(I)是(n\times n)单位矩阵(I=\begin{bmatrix}1&0&\cdots&0\0&1&\cdots&0\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\0&0&\cdots&1\end{b