22、牛顿法与最速下降法：数字信号处理中的优化算法解析

牛顿法与最速下降法：数字信号处理中的优化算法解析

在数字信号处理领域，寻找函数的最优解是一个常见且关键的问题。本文将深入探讨两种重要的优化算法：牛顿法和最速下降法，详细介绍它们的原理、应用以及相关性质。

牛顿法的基本原理

牛顿法最初用于寻找函数 $f(w)$ 的根，即求解多项式方程 $f(w) = 0$。其迭代公式基于函数和其导数在同一点的值。给定方程：
[w(n + 1) = w(n) - \frac{f[w(n)]}{f’[w(n)]} , n = 0, 1, 2, \cdots]
当导数 $f’[w(n)]$ 难以精确计算时，可通过近似公式：
[f’[w(n)] \approx \frac{f[w(n)] - f[w(n - 1)]}{w(n) - w(n - 1)}]
将其代入迭代公式，得到：
[w(n + 1) = w(n) - \frac{f[w(n)][w(n) - w(n - 1)]}{f[w(n)] - f[w(n - 1)]}]

然而，在实际应用中，我们常常需要找到性能表面的最低点，这等价于使函数的一阶导数为零，即 $\frac{\partial J(w)}{\partial w} = 0$。因此，将 $f(w)$ 替换为 $\frac{\partial J(w)}{\partial w}$，$f’(w)$ 替换为 $\frac{\partial^2 J(w)}{\partial w^2}$，迭代公式变为：
[w(n + 1) = w(n) - \frac{\frac{\partial J[w(n)]}{\partial w}}{\frac{\partial^2 J[w(n)]}{\partial w