15、维纳滤波器：理论、实践与应用

维纳滤波器：理论、实践与应用

1. 似然函数最小化与估计器求解

在信号处理中，似然函数的最小化是一个重要的概念。对于由拉普拉斯分布创建的似然函数 (L(q))，其最小化等价于最小化 (\sum_{n = 0}^{N - 1} |x(n) - q|)。通过这种最小化，我们可以得到估计器 (\hat{q} = \text{med}{x(0), x(1), \cdots, x(N - 1)})，即 (x(n)) 的中位数。

练习 7.4.5.2

我们需要生成随机变量（RV）的实现，其公式为 (\hat{c} = \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{N - 1} [x(n) + c + v(n)]^2)，其中 (x(n) = c + v(n))，(v(n)) 是方差为 (c > 0) 的高斯白噪声（WGN）。具体步骤如下：
1. 生成 (M) 个 (N) 个随机变量的实现。
2. 确定 (\hat{c}) 的均值。
3. 确定 (\hat{c}) 的方差。
4. 确定 (\hat{c}) 的概率密度函数（PDF）。

2. 均方误差（MSE）与维纳滤波器

2.1 MSE 概念

在寻找最优估计器时，均方误差（MSE）是一个常用的最优性准则。MSE 定义为 (mse(\hat{\theta}) = E{(\hat{\theta} - \theta)^2} = E{(\theta - \hat{\theta})^2} = E{e^2})，它衡量了估计器与真实值之间的平均平方偏差。

MSE 可以进一步分解为估计器的方差和偏差的平方之和，即 (ms