20、高斯随机过程：理论、应用与模拟

高斯随机过程：理论、应用与模拟

1. 引言

在众多随机过程中，高斯随机过程因其实用的物理建模和相对简单的数学特性而得到广泛应用。它的重要特性源于N维高斯概率密度函数（PDF），这些特性使得高斯随机过程成为解决问题时优先考虑的模型。

高斯随机过程的重要特征如下：
1. 基于中心极限定理 ：在物理层面，它由中心极限定理推动。当一个随机过程可建模为大量独立且相似类型效应的总和时，根据中心极限定理，就会产生高斯随机过程。
2. 数学上易于处理 ：是一种便于数学分析的模型。
3. 样本联合PDF为多元高斯PDF ：任何一组样本的联合PDF都是多元高斯PDF，具有许多有用的性质。
4. 仅需前两阶矩描述 ：只需均值序列和协方差序列这前两阶矩就能完全描述该过程。这带来两个结果：
- 在实践中，通过估计前两阶矩就可以估计联合PDF。
- 如果高斯随机过程是广义平稳的，那么它也是平稳的。
5. 线性滤波不改变高斯性质 ：用线性滤波器处理高斯随机过程不会改变其高斯性质，只会修改前两阶矩，且修改后的矩容易求得。

高斯随机过程在多个领域有应用，如电子噪声、海洋环境噪声、散射现象（如海洋中的声音混响或大气中的电磁杂波）以及金融时间序列等。

以鱼群回声为例，当一个正弦声脉冲从鱼群散射时，接收到的波形是大量散射脉冲的总和。由于不同鱼的反射特性（如位置、方向和运动）不同，反射脉冲的幅度被建模为随机变量。当这些随机回波在时间上重叠时，它们