16、基础随机过程：理论与应用解析

基础随机过程：理论与应用解析

1. 引言

在许多实际场景中，我们常常会遇到需要对随机现象进行概率描述的情况。以往，我们主要研究的是有限个随机变量的概率描述，这种方法适用于有明确开始和结束时间的随机现象。然而，很多物理现象更适合被建模为随时间持续进行的过程。

以罗德岛的夏季年降雨量为例，这一物理过程一直在持续，并且无疑会延续到未来。图 1 展示了 1895 年至 2002 年罗德岛的夏季年降雨量数据，由于我们测量降雨量的能力有限，才得到了图中的这些数据。因此，研究罗德岛夏季年降雨量在所有时间的概率特征似乎更为合理。我们用 $X[n]$ 表示第 $n$ 年的夏季年降雨量，那么我们会关注随机变量的无限元组 $(\cdots, X[-1], X[0], X[1], \cdots)$ 的行为，其中 $n = 0$ 对应的年份可以根据方便来选择。需要注意的是，由于随机变量的数量不是有限的，我们不能直接使用之前的概率方法。

对于夏季年降雨量，有几个相关问题值得探讨。气象学家可能想确定降雨量是否随时间增加，即平均降雨量是否真的恒定。如果平均降雨量随时间变化，那么通过图 1 中数据的样本均值得到的平均降雨量估计值就没有意义。例如，如果降雨量随时间线性增加，从 7.76 英寸开始，到 11.76 英寸结束，我们同样会得到 9.76 英寸的平均值。气象学家可能会认为由于全球变暖，降雨量应该增加。此外，另一个问题是，如果我们知道过去所有的降雨量历史，评估下一年降雨量达到 12 英寸或更多的概率，这就是预测问题，是许多科学领域的基本问题。

另一个备受关注的随机过程例子是道琼斯工业平均指数（DJIA）。每个交易日结束时，会计算一组代表性股票价格的平均值，以反映美国股市的健康状况，这个值也