36、热流 - 热力学深度复杂性与部分标记树相似性度量研究

热流 - 热力学深度复杂性与部分标记树相似性度量研究

1. 热流 - 热力学深度复杂性

在热流相关的研究中，涉及到诸多复杂的概念和关系。首先来看热流与矩阵元素之间的关系。当 $Y β < Kβ+ : Y β+$ 时，这是因为虽然乘数尽可能接近零，但为了最大化 Frobenius 积，最负的乘数必须分配给 $Kβ$ 中的较低元素。尽管不太负的元素对应于 $Kβ$ 的（主导）对角元素，但它们在 $β+$ 时比在其他情况更接近零。随着 $β →0$，零元素的数量会增加，因为此时 $Kβ = (In −Lβ)$，这意味着对角元素将接近 1，并且我们可以自由地将负乘数分配给越来越小的非对角元素，这样会得到较小的 $Kβ : Yβ$。然而，当接近 $β+$ 时，非对角元素开始占主导地位，将接近零的乘数分配给主导元素会使 Frobenius 积增加。

当 $β > β+$ 时，在达到平衡点之前，非对角值的总和大于对角值的总和。如果在平衡之前 $A : Kβ+ > A : Kβ$，并且考虑到 $β$ 处的对角元素小于它们在 $β+$ 处的值，我们可以得到 $Kβ+ : Y β+ > Kβ : Y β$。这是由于以下两个原因：
- 为了最大化 Frobenius 积，希望将接近零的乘数分配给非对角元素，将更负的乘数分配给对角元素。
- 随着 $β$ 的增加，由于对这些乘数的约束数量增加（$\Xiβ = trace(Kβ) - \sum_{i=1}^{n} \sum_{j\neq i} Kβ_{ij}$ 减小），后一种分配变得越来越不可行。

在这种情况下，热流通过边增加，并在那些没有边连接的节点对之间建立虚拟路径（可达性）。结果是，与间接路径相关的非对角元