31、有向网络中的热流 - 热力学深度复杂性及形状相似性研究

有向网络中的热流 - 热力学深度复杂性及形状相似性研究

在复杂网络和形状分析领域，热流和图核方法是重要的研究方向。本文将探讨有向网络中的热流 - 热力学深度复杂性，以及基于树模式的形状相似性度量的改进。

有向热核与热流

在有向图的分类学习任务中，当设定 $\eta = 0.99$ 时，使用新的矩阵 $P$ 会因 PageRank 掩码导致 $P_{ii} \neq 0$，这在使用拉普拉斯算子推导热核时可能会对热扩散产生显著干扰。

矩阵 $P$ 的定义对于确定有向组合拉普拉斯矩阵 $L$ 和有向归一化拉普拉斯矩阵 $\mathcal{L}$ 至关重要，进而也影响了从这些矩阵导出的热核的行为。若图是强连通且非周期的，原始的 $P$ 有唯一的平衡分布，组合拉普拉斯矩阵的分量由特定公式给出；否则，可通过 PageRank 变换来满足条件。

图的 $n \times n$ 热/扩散核 $K_{\beta}(G)$ 是热/扩散方程 $\frac{\partial K_{\beta}}{\partial \beta} = -LK_{\beta}$ 的解，可表示为矩阵指数形式 $K_{\beta}(G) = \exp(-\beta L)$（$\beta \geq 0$）。利用泰勒级数展开可得 $K_{\beta}(G) = e^{-\beta L} = I_n - \beta L + \frac{\beta^2}{2!}L^2 - \frac{\beta^3}{3!}L^3 + \cdots$，其中 $I_n$ 是 $n \times n$ 的单位矩阵。

矩阵 $W = \frac{\Phi P + P^T \Phi}{2}$ 可看作是与图 $G$ 相关联