27、有限域上单项式置换的循环分解研究

有限域上单项式置换的循环分解研究

1. 引言

在数字通信系统里，错误控制码起着保护信息传输的关键作用，而Turbo码在卫星通信系统中表现出色，能有效控制错误并降低发射功率。Turbo编码器的核心组件之一是交织器，它负责对信息符号进行置换。当前，交织器的构建常采用随机选择的方式，但这种方式需要将交织器存储在内存中，不利于实现和性能分析。因此，研究人员开始关注能实时生成且性能与随机交织器相当的确定性构造方法。

我们聚焦于有限域$F_q$上的置换，这些置换可分解为相同长度的循环，并且由单项式$x^i \in F_q[x]$生成。我们旨在找出指数$i$满足的充要条件，以得到此类置换，同时给出计算这类置换数量的公式，还会探讨其在Turbo码编码器构建中的应用。

2. 数论基础

以下是一些数论的基本概念和结果：
- 欧拉函数 ：$\varphi(n)$表示不超过$n$且与$n$互质的正整数的个数。
- 元素的阶 ：整数$i$模$n$的阶是使得$i^j \equiv 1 \pmod{n}$的最小正整数$j$，记为$j = \text{ord}_n(i)$。

还有一些重要的引理和命题：
| 序号 | 内容 |
| ---- | ---- |
| 引理1 | 若$i \equiv b \pmod{p^l}$，则$i^p \equiv b^p \pmod{p^{l + 1}}$，对所有$l \geq 1$成立。 |
| 引理2 | 设$j = \text{ord} {p^l}(i)$，则$j = \text{or