26、范畴论中的态射：概念、性质与应用

范畴论中的态射：概念、性质与应用

1. 态射的基础概念

在范畴论里，态射可被视作范畴中从一个对象指向另一个对象的箭头。例如，在一个由对象 A、B、C 构成的范畴中，态射就是连接这些对象的箭头。从 A 到 B、B 到 C 或者 A 到 C 都可能存在多个箭头，而且每个对象都有指向自身的箭头，这被称为恒等态射。
- 定义表示 ：
- (f: A \to B) 代表从对象 A 到对象 B 的一个态射。
- (Hom(A, B)) 是所有从 A 到 B 的箭头的集合，也被叫做 A 到 B 的 Hom - 集。
- (id_A: A \to A) 是从 A 到 A 的恒等态射。

2. 态射的行为

2.1 复合操作

态射的复合操作是范畴论里的一个关键概念。复合操作 (g \circ f) 意味着先应用态射 (f)，再应用态射 (g)。用数学表达式表示就是 ((g \circ f)(x) = g(f(x)))。一般而言，函数复合不满足交换律，也就是说 (f(g(x))) 通常不等于 (g(f(x)))。
示例 ：设 (f(x) = x + 2)，(g(x) = x^2 + 1)，计算 (g(f(1))) 和 (f(g(1)))：
- (g(f(1)))：先计算 (f(1)=1 + 2 = 3)，再计算 (g(3)=3^2 + 1 = 10)。
- (f(g(1)))：先计算 (g(1)=1^2 + 1 = 2)，再计算 (f(2)=2 + 2 = 4)。
由此可见，(g(f(1)) \neq f(g(1)))，这