2、线性算子与矩阵：从基础到变换的全面解析

线性算子与矩阵：从基础到变换的全面解析

1. 矩阵基础

矩阵在数学和工程领域具有广泛应用，它是表示线性算子的重要工具。对于矩阵 (M)，其第 (i) 列是 (L(v_i)) 相对于基 ({w_1, w_2, \cdots, w_m}) 的表示，元素 (m_{ij} \in F) 位于第 (i) 行第 (j) 列。

矩阵具有多种性质，以下是一些常见的矩阵类型：
- 方阵 ：当矩阵的行数 (m) 等于列数 (n) 时，称为方阵。方阵的主对角线由元素 (m_{ii}) 组成。
- 三角矩阵 ：若方阵中所有 (i > j)（或 (i < j)）时，(m_{ij} = 0)，则称为上（或下）三角矩阵。
- 对角矩阵 ：若方阵中所有 (i \neq j) 时，(m_{ij} = 0)，则称为对角矩阵。当对角矩阵的主对角线元素都为 (1) 时，称为单位矩阵。
- 行向量和列向量 ：行向量是 (m = 1) 的特殊矩阵，列向量是 (n = 1) 的特殊矩阵。当 (m = n = 1) 时，矩阵本质上是一个标量。

矩阵自然地作为表示联立线性方程组的手段出现。例如，在基尔霍夫方程中，图论的相关内容展示了关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵的产生。再考虑一个 (\pi) 型网络，其节点电压 (V_i)（(i = 1, 2)）和电流源 (i_i)（(i = 1, 2)）连接在电阻 (R_i)（(i = 1, 2)）上，桥电阻为 (R_3)。则未知节点电压可以用已知源电流表示为：
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