4、线性算子与矩阵的深入剖析

线性算子与矩阵的深入剖析

1. 矩阵转置

矩阵转置是线性代数中的一个基本操作。对于矩阵 (M \in F^{m\times n})，其转置 (M^T \in F^{n\times m}) 通过交换行和列得到。即 (M) 的第一列变为 (M^T) 的第一行，第二列变为 (M^T) 的第二行，依此类推。也会使用 (M^t) 和 (M’) 来表示转置。如果 (M = M^T)，则该矩阵称为对称矩阵。

两个矩阵 (M, N \in F^{m\times n}) 相等，当且仅当所有对应元素相等，即 (m_{ij} = n_{ij}) 对所有的 (i, j) 都成立。

对于矩阵 (M \in C^{m\times n})，其埃尔米特转置 (M^ \in C^{n\times m}) 也称为复共轭转置。计算 (M^ ) 时，先形成 (M^T)，然后对 (M^T) 中的每个元素取复共轭。

矩阵转置具有以下性质：
- ((M^T)^T = M)
- ((M + N)^T = M^T + N^T)
- ((aM)^T = aM^T)
- ((MP)^T = P^TM^T)，其中 (M, N \in F^{m\times n})，(P \in F^{n\times p})，(a \in F)

示例 ：
设 (M = \begin{bmatrix}j & 1 - j\4 & 2 + j3\end{bmatrix})
- (M^T = \begin{bmatrix}j & 4\1 - j & 2 + j3\end{b