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本文综述了拓扑数据分析在科学可视化中的前沿进展与挑战。重点探讨了双变量数据和不确定数据等新兴数据类型带来的新问题，介绍了在二维不确定标量场中提取强制临界点的组合算法及其优势，包括全局配对、多尺度可视化和鲁棒性。同时总结了拓扑抽象、交互与分析方面的技术进展，并指出未来研究需应对原位数据处理需求及多变量、不确定数据的复杂性，强调在算法设计与Morse理论扩展方面的深入探索，以适应下一代超级计算机的发展趋势。

本文探讨了拓扑数据分析在高性能计算背景下所面临的新兴挑战与机遇，重点分析了硬件、软件和探索三类新兴约束，以及多元数据等新型数据类型带来的问题。针对这些挑战，文章总结了在轮廓树并行计算、分层数据表示、Reeb空间计算和纤维表面提取等方面的初步成果，并指出了未来研究方向，包括扩展到Reeb图的并行算法、开发尽力而为的异步算法、实现交互式特征提取，以及推动二元数据的自动分割。展望未来，拓扑数据分析有望在高性能计算、科学可视化和人工智能等领域发挥关键作用，助力大规模数据的理解与应用。

本文介绍了一种基于拓扑数据分析的分子系统研究方法，通过简化莫尔斯-斯梅尔复形提取键图，实现共价键与非共价键的识别与分类。方法包括去除低持久性结构、去除非原子极小值、过滤非键鞍点及构建键图，并进一步计算排斥键循环以分析空间排斥效应。实验结果验证了该方法在吡哆醇、氨基吡啶、β-折叠多肽和DNA双螺旋等复杂系统中的有效性，支持定量分析与可视化探索。展望未来，文章指出将拓扑分析推广至双变量数据是应对ExaScale时代科学计算挑战的关键方向。

本文介绍了分子系统中化学相互作用的定量分析方法，重点探讨了共价与非共价相互作用的特征及其在复杂分子体系中的作用。针对传统电子密度难以捕捉弱相互作用的问题，引入带符号电子密度 $Q_{\rho}$ 和约化梯度 $s$ 作为关键标量场，结合Bader模型和拓扑工具（如Morse-Smale复形与连接树 $J(s)$）实现原子、键路径及排斥环的自动提取。文章详细阐述了技术挑战（如低持久性结构、非原子极小值和非键鞍点）的应对策略，并提出通过分析 $s$ 的连接树并基于持久性简化来准确识别相互作用位点。整个流程实现了

本文提出了一种基于分层分割树的湍流燃烧模拟数据处理方法，通过数据分割、特征跟踪和跟踪图简化实现超过两个数量级的数据缩减，并构建交互式探索界面支持对燃烧火焰几何形状的动态分析与可视化。该方法不仅提升了数据处理效率，还为燃烧行为的定量研究提供了新视角，尽管在跟踪图的可视化与交互布局方面仍存在挑战，但其框架可推广至气象、生物医学等多个复杂数据领域。

本文探讨了基于Reeb图的拓扑抽象在表面分割与参数化中的应用，提出了一系列交互式编辑操作以优化四边形网格生成。同时，针对大规模时变湍流燃烧模拟数据，采用分层分裂树进行数据缩减与特征保留，并设计用户界面支持交互式探索。通过分析局部燃料消耗率阈值对燃烧单元识别的影响，建立了适应蜂窝状氢-空气火焰的新型分析框架。初步结果验证了该方法在几何处理与科学可视化中的有效性，未来可拓展至材料科学、生物医学等领域。

本文介绍了拓扑抽象在科学可视化中的两种交互式编辑方法：Morse-Smale复形编辑与Reeb图编辑。前者通过引入符合映射约束的离散梯度向量场，支持用户对特征分割进行迭代修正，尤其适用于生物医学图像中细胞核的精准识别；后者基于调和标量场与原子操作，实现对表面四边形网格布局、边界几何形状及角点属性的半自动控制。结合直观的用户界面，这两种方法将领域知识有效融入拓扑结构构建过程，提升了数据分割的准确性与可控性，具有广泛的应用前景。未来工作包括优化交互界面、提升局部计算效率以及拓展至体积网格生成等方向。

本文提出了一种高效计算体网格Reeb图的方法，结合无环Reeb图计算与逆切割操作，显著提升了运行效率，平均加速因子达6500。通过拓扑简化等值面技术，有效去除噪声连通分量，突出数据主要特征，适用于机械设计与物理模拟等领域。同时，设计了基于原位渲染的等值面可视化小部件，解决大规模模拟的数据传输与存储瓶颈，支持远程交互式分析。算法在实际数据中表现出近似线性可扩展性，尽管存在对流形网格的限制，未来可通过数据结构优化和高维扩展进一步提升应用范围。

本文介绍了一种高效计算体网格Reeb图的方法，通过将Reeb图计算问题转化为轮廓树计算问题，利用环手术消除Reeb图中的环结构。文章详细阐述了环鞍点识别、切割面定义等关键步骤，并给出了理论证明与算法流程。该方法在时间复杂度和实际性能上均优于传统算法，适用于多种复杂体网格，如头骨、制动钳和气缸盖等，具有良好的应用前景。

本文介绍了一种高效的标量场拓扑简化算法和一种用于体积网格的Reeb图计算算法。拓扑简化算法通过交替进行子集与超集重建，结合符号到数值的扰动转换，在保证输出场与原始场L₁范数较小的同时，快速移除非必要临界点，适用于地形分析等应用。Reeb图算法采用循环手术思想，通过符号切割与逆操作，将复杂拓扑转化为无环结构，利用轮廓树高效计算并还原结果，显著提升了计算效率。两种算法均无需依赖昂贵的拓扑抽象，具有良好的通用性和实用性，为科学计算与可视化提供了有力支持。

本文介绍了一种高效的标量场拓扑简化方法，通过控制子水平集和超水平集的连通性，结合简单的迭代重建算法，能够在保证输出与输入场接近的前提下，有效移除可移除的临界点。该方法实现简单（仅需几十行C++代码），不依赖复杂的拓扑抽象结构（如Morse-Smale复形或轮廓树），对多鞍点具有鲁棒性，并适用于有边界或无边界的表面。算法收敛速度快，通常在两次迭代内即可完成，广泛应用于地理信息系统、医学影像处理和计算机图形学等领域。

本文介绍了拓扑抽象在科学可视化中的关键作用，重点探讨了持久同调、Reeb图和Morse-Smale复形等核心算法的原理、计算方法及应用。文章还阐述了标量场的拓扑简化技术，对比了各类算法的复杂度与适用场景，并通过燃烧和化学领域的案例展示了其实际价值。最后，提出了算法优化方向与未来发展趋势，包括降低计算复杂度、提升几何精度、增强并行能力以及与机器学习等领域的融合，展望了拓扑抽象算法在复杂数据分析中的广阔前景。

本文系统介绍了拓扑抽象中的核心概念，包括持久同调、Reeb 图和莫尔斯 - 斯梅尔复形，探讨了它们在处理 PL 标量场数据中的应用。持久同调通过过滤和持久性分析实现多尺度特征提取；Reeb 图揭示临界点之间的邻接关系并支持数据分割；莫尔斯 - 斯梅尔复形则全面捕捉所有临界点对的结构关系。文章还比较了不同方法的优势与局限，并展示了其在函数比较、特征识别和数据分割等场景中的实际应用，最后展望了拓扑抽象在未来高维数据分析中的发展潜力。

本文介绍了拓扑数据分析中的核心概念，包括数据的分段线性表示、拓扑不变量（如连通分量、同调群、Betti数和欧拉特征）以及几何构造（如子水平集、水平集和积分线）。文章重点阐述了临界点的定义、分类及其在计算流体动力学和科学可视化中的实际应用，并探讨了基于临界点的拓扑抽象方法，用于简化数据结构、提取关键特征并实现高效的数据分析。最后展望了拓扑数据分析在多领域的应用前景和发展方向。

本文介绍了拓扑数据分析（TDA）在科学可视化中的应用，从基础概念到实际案例，系统阐述了其在处理复杂科学数据中的优势。文章首先通过仙女座星系矮星系共面分布的发现，展示了可视化在科研中的关键作用，并引出高维、大规模数据带来的挑战。随后，详细讲解了拓扑空间、流形、单纯复形、三角剖分等数学基础，以及临界点、持久同调、Reeb图和Morse-Smale复形等核心抽象方法及其算法。结合湍流燃烧模拟和分子相互作用分析的应用实例，体现了TDA在揭示数据内在结构方面的强大能力。最后，探讨了TDA面临的硬件、软件、探索方式及多