2、拓扑数据分析中的数据表示与抽象

拓扑数据分析中的数据表示与抽象

1. 背景知识

在拓扑数据分析中，为了进行推理和保证鲁棒性，我们常常使用比三角剖分更严格的概念，即分段线性流形（Piecewise Linear Manifold）。一个流形 $M$ 的三角剖分就被称为分段线性流形，记为 $\overline{M}$。它是流形的一种组合表示，可通过存储每个维度 $d$ 的 $d$ - 单形列表以及它们的星和链来高效地在内存中表示。

拓扑不变量是在域的连续变换（点位置变化但连接性不变）下不改变的实体，在拓扑数据分析中起着重要作用。以下是一些常见的拓扑不变量的定义：
- 路径（Path） ：从开区间 $(a, b) \subseteq \mathbb{R}$ 到拓扑空间 $X$ 的子集 $C$ 的同胚 $p: (a, b) \to C$ 称为 $X$ 上从 $p(a)$ 到 $p(b)$ 的路径。
- 连通拓扑空间（Connected Topological Space） ：如果拓扑空间 $X$ 中任意两点之间都存在路径，则称 $X$ 是连通的。
- 连通分量（Connected Components） ：拓扑空间 $X$ 的最大连通子集称为它的连通分量。
- 同伦（Homotopy） ：两个连续函数 $f$ 和 $g$ 之间的同伦是一个连续函数 $H: X \times [0, 1] \to Y$，使得对于每个点 $x \in X$，有 $H(x, 0) = f(x)$ 且 $H(x, 1) = g(x)$。如果存在这样的同伦，则称 $f$ 和 $