7、高效体网格Reeb图计算方法解析

高效体网格Reeb图计算方法解析

1. 引言

在处理体网格相关问题时，Reeb图的计算是一个重要的研究方向。本文将围绕高效计算体网格Reeb图展开，介绍一种将计算Reeb图问题转化为计算轮廓树问题的方法，同时给出具体的算法步骤和相关理论证明。

2. 预备知识

• PL Morse标量场 ：考虑定义在嵌入于(R^3)的PL 3 - 流形(M)上的PL Morse标量场(f: M \to R)。
• Reeb图中的环 ：
  • 由于(M)是紧致且可嵌入(R^3)的，其边界(\partial M)非空、可定向且封闭，但可能不连通。设(f_{\partial})是(f)在(\partial M)上的限制，当(f)和(f_{\partial})为PL Morse函数时，有(l(R(f_{\partial})) = g(\partial M))，其中(g(\partial M))是(M)边界组件的总亏格，同时(\beta_1(M) = g(\partial M))，这里(\beta_1(M))是(M)的第一Betti数，意味着(M)的每个把手对应其边界表面的一个隧道。
  • 而且，(R(f))中的环数量不大于(M)的第一Betti数，即(l(R(f)) \leq \beta_1(M) = g(\partial M) = l(R(f_{\partial})))。由此可得性质3.1：(R(f))中存在环意味着(M)和(\partial M)中存在相应的隧道以及(R(f_{\partial}))中存在相应的环，但反之不一定成立。