6、标量场拓扑简化与Reeb图计算的高效算法

标量场拓扑简化与Reeb图计算的高效算法

在科学计算和可视化领域，标量场的拓扑简化以及Reeb图的高效计算是非常重要的任务。本文将介绍一种用于标量场拓扑简化的组合算法，以及一种在体积网格上计算Reeb图的实用算法。

标量场拓扑简化算法

算法原理

• 子集和超集重建 ：通过交替进行子集和超集重建，逐步减少剩余极值及其对应鞍点出现的函数范围。每次重建后，新的剩余极值与对应鞍点在全局顶点排序中的距离至少减少1，最终它们在全局顶点排序中连续，不再有新的剩余点产生。
• 从符号扰动到数值扰动 ：收敛后，将符号扰动（顶点偏移）转换为数值扰动，以仅用数值表示输出场。遍历最终数组A，当顶点值小于或等于其前一个顶点时，将其函数值增加一个任意小的值ε。数值扰动应仅在需要的地方（g的平坦区域）进行，以保持||f - g||₁较小。

算法性质

• 与ε - 简化的关系 ：算法的隐式配对与基于持久性的临界点配对兼容。给定一个极值移除，它将最小值（或最大值）与其在连接树（或分裂树）上最近的鞍点配对。||f - g||₁等于极值与其配对鞍点的函数值绝对差。如果输入约束根据拓扑持久性选择（C₀ᵍ和C₂ᵍ中每个临界点相关对的持久性高于ε），则||f - g||₁ ≤ ε。
• 处理非Morse输入 ：输入中可能出现多鞍点，导致f不是Morse函数。算法无需修改即可处理这些退化情况，移除与多鞍点相关的一个极值将使输出中鞍点的重数减少1。