4、拓扑抽象算法及其应用

拓扑抽象算法及其应用

在科学可视化领域，拓扑抽象对于特征提取和数据分割起着至关重要的作用。本文将介绍几种拓扑抽象的算法及其应用，包括持久同调、Reeb图和Morse - Smale复形，同时还会提及标量场的拓扑简化算法。

1. 持久同调

持久同调是一种用于分析拓扑特征稳定性的工具，在函数比较等方面有广泛应用。
- 临界点提取与持久性评估 ：PL标量场的临界点通常使用一种简单、鲁棒、局部化且全局一致、易于并行化的算法提取，该算法直接实现了相关定义，源于Banchoff的一篇开创性论文。临界点对的提取及其持久性评估通常通过稀疏矩阵约简实现，最坏情况下时间复杂度为$O(n^3)$（$n$为单形的数量）。不过，对于特征选择而言，只有极值 - 鞍点对具有实际意义，使用Reeb图可以更高效地计算这些对。
- 持久性图的应用 ：持久性图编码了所有临界点对及其持久性，广泛用于函数比较，特别是在高维域中，更高级的拓扑抽象计算和简化较为困难。Cohen - Steiner等人证明了在公共域上计算的两个PL标量场$f$和$g$的持久性图之间的瓶颈距离受这两个函数在无穷范数下的距离限制。
- 拓扑简化问题 ：给定一个去除了所有持久性低于阈值$\epsilon$的对的持久性图$D(f)$（记为$D(g)$），能否计算出一个与$f$足够接近且以$D(g)$为持久性图的函数$g$？Edelsbrunner等人首先在PL 2 - 流形上定义的PL标量场的情况下解决了这个问题，但他们的算法复杂且难以实现。Attali等人和Bauer等人针对过滤和离散莫尔斯函数提出了类似的方法，但将这些算法的