3、拓扑抽象：从持久同调到莫尔斯 - 斯梅尔复形

拓扑抽象：从持久同调到莫尔斯 - 斯梅尔复形

在科学研究和工程应用中，对数据进行有效的拓扑分析至关重要。本文将深入探讨持久同调、Reeb 图和莫尔斯 - 斯梅尔复形等拓扑抽象概念，这些概念为我们理解和分析复杂数据提供了强大的工具。

1. 持久同调的基本概念

在处理 PL 标量场时，提取其临界点是一项关键任务。然而，由于数据生成过程中存在噪声（如采集噪声、模拟中的数值噪声），传统的分类策略可能会将一些由噪声引起的微小函数波动识别为临界点。为了解决这个问题，持久同调应运而生。

• 过滤（Filtration） ：设 $f: K \to \mathbb{R}$ 是定义在单纯复形 $K$ 上的单射标量场，满足对于每个单形 $\sigma$ 的每个面 $\tau$，有 $f(\tau) < f(\sigma)$。设 $n$ 是 $K$ 中单纯形的数量，$L_{\alpha(i)}$ 是 $f$ 按单纯形值排序后的第 $i$ 个值所对应的子水平集。嵌套的子复形序列 $L_{\alpha(0)} \subseteq L_{\alpha(1)} \subseteq \cdots \subseteq L_{\alpha(n - 1)} = K$ 称为 $f$ 的过滤。
• 同态（Homomorphism） ：同态是群之间的一种映射，它与群运算可交换。例如，对于 $p$ - 链群，其群运算是 $p$ - 单纯形的形式和。
• 持久同调群（Persistent Homology Group） ：过滤的标量场 $f$ 会在 $K$ 的子