5、标量场的高效拓扑简化

标量场的高效拓扑简化

在标量场处理中，高效地进行拓扑简化是一个重要的研究方向。本文将介绍一种标量场的拓扑简化方法，包括其原理、算法以及相关性质。

1. 概述

标量场的拓扑简化旨在抑制场中任意可移除的临界点，从而开发出比以往方法更通用的简化框架，其中$\epsilon$-简化是该框架的一个特殊情况。我们提出的算法是一种迭代、组合的简化算法，实现起来非常简单，只需几十行C++代码。给定对输出函数极值的用户约束，该算法能自动识别并移除关于$| f - g|_1$的最优鞍点集，从而保证输入和输出之间的距离较小。与以往方法相比，该技术直接作用于PL标量场表示，对多鞍点具有鲁棒性，并且能处理有边界或无边界的表面。此外，该算法不使用计算昂贵的拓扑抽象，如Morse - Smale复形甚至轮廓树，因此在实践中速度非常快。大量实验表明，这种迭代算法很少需要超过两次迭代就能收敛。

2. 预备知识

我们考虑定义在可定向PL 2 - 流形$M$上的PL Morse标量场$f: M \to \mathbb{R}$。

2.1 标量场的一般简化

定义3.1（一般拓扑简化） ：给定一个PL标量场$f: M \to \mathbb{R}$及其临界点集$C_f$，我们称$f$的一般简化是一个PL标量场$g: M \to \mathbb{R}$，使得$g$的临界点构成$C_f$的一个子集：$C_g \subseteq C_f$（具有相同的指标和位置）。通常，出于数据拟合的目的，还希望最小化$| f - g|_1$。也就是说，一般简化包括从输入场$f$中移除一组临界点，构建一个与之接近的变体。