65、经济学中多项式方程所有解的计算

经济学中多项式方程所有解的计算

在经济学和金融领域，我们常常需要求解多项式方程组。本文将介绍多项式方程求解的相关知识，包括多项式的基本概念、格罗布纳基（Gröbner Basis）的定义和性质，以及计算格罗布纳基的布赫贝格尔算法（Buchberger’s Algorithm）。

1. 多项式基础

多项式 (f) 可以写成 (f (x) = \sum_{\alpha\in S} a_{\alpha}x^{\alpha}) 的形式，其中 (a_{\alpha} \in K)，(S \subset Z_{+}^{n}) 为有限集。若 (f \neq 0)，其度数 (deg( f ) = max{|\alpha| 1 | a {\alpha} \neq 0})；若 (f = 0)，则 (deg( f ) = -1)。

我们用 (K[x_1, \ldots, x_n]) 表示系数在域 (K) 中的所有关于变量 (x_1, x_2, \ldots, x_n) 的多项式集合，也可简记为 (K[x])，这个集合被称为多项式环。在本文中，我们主要关注三个常用的域：有理数域 (Q)、实数域 (R) 和复数域 (C)。

我们求解经济学和金融领域中产生的多项式方程组时，主要关注平方多项式方程组的实数解，即对于给定的 (f_1, \ldots, f_n \in K[x_1, \ldots, x_n])，找到集合 ({x \in R^n : f_1(x) = \ldots = f_n(x) = 0}) 中的所有元素。不过，出于某些原因，我们也常常需要考虑所有复数解的集合 ({x \in C^n : f_1(x) = \cdots = f_n(x) = 0})。 </