69、经济学中多项式方程所有解的计算与应用

经济学中多项式方程所有解的计算与应用

1. 多项式方程求解的理论基础

1.1 同伦方法的基本定理

同伦方法在求解多项式方程系统中具有重要作用。对于同伦 $H$（如式 (23) 所示），其贝祖数为 $d$，对于几乎所有 $\gamma \in [0, 2\pi)$，具有以下性质：
1. 同伦有 $d$ 条连续的解路径。
2. 每条路径要么收敛到一个孤立的非奇异解，要么收敛到一个奇异解（即雅可比矩阵的秩下降的解）。
3. 如果 $b$ 是一个重数为 $m$ 的孤立解，那么有 $m$ 条路径收敛到它。
4. 沿着路径，同伦参数 $t$ 单调递增，即路径不会向后弯曲。

利用这个同伦 $H$，可以找到系统 (21) 的所有解，且不会有发散路径。从系统 (21) 的解可以得到原始系统 (18) 的解。

1.2 同伦方法的优势与潜在问题

同伦方法的一个额外优势是可以通过 $u$ 对解进行缩放。如果解的某个分量 $z_i$ 变得太大，会导致数值问题，此时可以选择一组新的 $\xi_i$。此外，该方法从理论上消除了无穷解的问题，但在判断路径是否发散时，仍然需要判断 $b_0$ 是否实际上等于 0。由于只能计算到数值精度，这仍然存在过早截断路径的可能性。

1.3 减少解路径数量的方法

解路径的数量 $d$ 会随着单个方程的次数迅速增长。对于许多经济模型，可能只有少数均衡，即系统的实解较少，经济上有意义的解更少。因此，需要尽可能减少需要跟踪的路径数量。有两种方法可以实现这一目标：
- m - 齐次贝祖数方法 ：将齐次多项式系