35、符号积分与力场模拟

符号积分与力场模拟

1. 符号积分基础

积分是微积分中的重要运算，与导数相反，导数是从函数得到其变化率的函数，而积分是从变化率重构函数。

1.1 积分作为反导数

不定积分也被称为反导数。例如，当 $y = x^2$ 时，其导数是 $2x$，那么 $2x$ 的不定积分就是要找出哪个函数的瞬时变化率等于 $2x$。$2x$ 关于 $x$ 的不定积分可能是 $x^2$，也可能是 $x^2 - 6$ 或 $x^2 + \pi$ 等，因为常数项的导数为 0，所以不定积分的结果不唯一。为了表示不定积分，需要加上一个未指定的常数 $C$，即 $x^2 + C$，$C$ 被称为积分常数。

一些积分通过练习导数可以很容易得出。例如：
- $\int \cos(x)dx = \sin(x) + C$，因为对于任何常数 $C$，$\sin(x) + C$ 的导数是 $\cos(x)$。
- $\int 3x^2dx = x^3 + C$，因为对 $x^3$ 应用幂法则求导得到 $3x^2$。

但也有一些较难的积分，如 $\int \tan(x)dx$ 没有明显的解，需要反向运用多个求导法则来求解。甚至有些积分是不可能用现有的函数表示的，例如 $f(x) = e^{x^2}$ 的不定积分就无法用常规函数表示。

1.2 SymPy 库介绍

SymPy 是一个用于符号数学的开源 Python 库，它有自己的表达式数据结构和重载运算符，使代码看起来像普通的 Python 代码。以下是一些 SymPy 代码示例：

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