18、聚类理论与实践：矩阵、图论及搜索算法详解

聚类理论与实践：矩阵、图论及搜索算法详解

1. 矩阵与相异性

首先，我们定义集合 $P$ 为 $P = {x | x \in R, x \geq0} \cup{\infty}$。在这个集合上，我们可以将实数 $R$ 上的常规运算进行扩展，例如对于任意 $x \in P$，有 $x + \infty= \infty+ x = \infty$ 和 $x \cdot \infty= \infty$。

设 $P_{m×n}$ 是所有元素属于 $P$ 的 $m × n$ 矩阵构成的集合。对于矩阵 $A, B \in P_{m×n}$，如果对于 $1 \leq i \leq m$ 和 $1 \leq j \leq n$ 都有 $a_{ij} \leq b_{ij}$，则称 $A \leq B$。

当 $A \in P_{m×n}$ 且 $B \in P_{n×p}$ 时，矩阵乘积 $C = AB \in P_{m×p}$ 的定义为：
$c_{ij} = \min{\max{a_{ik}, b_{kj}} | 1 \leq k \leq n}$，其中 $1 \leq i \leq m$ 且 $1 \leq j \leq p$。

单位矩阵 $E_n \in P_{n×n}$ 定义为：
$(E_n) {ij} = \begin{cases}
0 & \text{if } i = j \
\infty & \text{otherwise}
\end{cases}$
对于任意 $A \in P {m×n}$ 有 $AE_n = A$，对于任意 $A \in P_{n×p}$ 有 $E_