8、半环上的矩阵与熵的理论及应用

半环上的矩阵与熵的理论及应用

1. 半环与矩阵

1.1 半环的定义与示例

半环是一种代数结构，由集合 (S) 以及两种运算 (+) 和 (\cdot) 组成，即 ((S, +, \cdot))。这两种运算满足结合律，并且对于任意的 (a, b, c \in S)，满足分配律：
- (a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c)
- ((b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a)

以下是一些常见的半环示例：
| 半环示例 | 集合 | 运算 (+) | 运算 (\cdot) |
| — | — | — | — |
| ((N, +, \cdot)) | 自然数集 (N) | 普通加法 | 普通乘法 |
| ((Z, +, \cdot)) | 整数集 (Z) | 普通加法 | 普通乘法 |
| ((R, +, \cdot)) | 实数集 (R) | 普通加法 | 普通乘法 |
| ((L, \vee, \wedge)) | 格 (L) | 并运算 (\vee) | 交运算 (\wedge) |
| ((P(S), \cup, \cap)) | 集合 (S) 的幂集 (P(S)) | 并运算 (\cup) | 交运算 (\cap) |
| ((N, lcm, gcd)) | 自然数集 (N) | 最小公倍数 (lcm) | 最大公约数 (gcd) |
| ((P, min, max)) | (P = {x | x \in R, x \geq 0} \cup {\infty}) | 取最小值 (min)