相似对角化
![![[Pasted image 20251124084201.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/d5b1b81b9209478e8b169ed0bb0050fb.png)
A(α1+α2, −α3, α2)=(Aα1+Aα2, −Aα3, Aα2)=(α1+α2, α3, α2)=(α1+α2, −α3, α2)(1000−10001) \begin{aligned} A(\alpha_1 + \alpha_2,\ -\alpha_3,\ \alpha_2) &= (A\alpha_1 + A\alpha_2,\ -A\alpha_3,\ A\alpha_2) \\ &= (\alpha_1 + \alpha_2,\ \alpha_3,\ \alpha_2) \\ &= (\alpha_1 + \alpha_2,\ -\alpha_3,\ \alpha_2) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned} A(α1+α2, −α3, α2)=(Aα1+Aα2, −Aα3, Aα2)=(α1+α2, α3, α2)=(α1+α2, −α3, α2)1000−10001
选D
![![[Pasted image 20251124085603.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/14cdb103b7ac4f5182e9198884940709.png)
解：(1) α不是A的特征值，Aα≠λα，Aα与α线性无关.P为可逆矩阵.(2) AP=(Aα, A2α)=(Aα, 6α−Aα)=(α, Aα)(061−1)P−1AP=(061−1)法1：∣−λ61−1−λ∣=λ2+λ−6=0⇒λ1=2, λ2=−3，故(061−1)可相似对角化，所以A可相似对角化.法2：∣061−1∣=−6≠0，故(061−1)的两个特征值异号，互不相同，则(061−1)可相似对角化，所以A可相似对角化. \begin{aligned} &解：(1)\ \alpha不是A的特征值，A\alpha\neq\lambda\alpha，A\alpha与\alpha线性无关. \\ &P为可逆矩阵. \\ \\ &(2)\ AP = (A\alpha,\ A^2\alpha) = (A\alpha,\ 6\alpha - A\alpha) \\ &= (\alpha,\ A\alpha)\begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \\ &P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \\ \\ &法1：\begin{vmatrix} -\lambda & 6 \\ 1 & -1-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2 + \lambda - 6 = 0\Rightarrow\lambda_1 = 2,\ \lambda_2 = -3，故\begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}可相似对角化，\\ &所以A可相似对角化. \\ \\ &法2：\begin{vmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -6\neq 0，故\begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}的两个特征值异号，互不相同，则\begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}可相似对角化，\\ &所以A可相似对角化. \end{aligned} 解：(1) α不是A的特征值，Aα=λα，Aα与α线性无关.P为可逆矩阵.(2) AP=(Aα, A2α)=(Aα, 6α−Aα)=(α, Aα)(016−1)P−1AP=(016−1)法1：−λ16−1−λ=λ2+λ−6=0⇒λ1=2, λ2=−3，故(016−1)可相似对角化，所以A可相似对角化.法2：016−1=−6=0，故(016−1)的两个特征值异号，互不相同，则(016−1)可相似对角化，所以A可相似对角化.
【小结】判断2阶矩阵 A=(abcd)是否可相似对角化的两种可能的情况：第一、若 (a−d)2≠−4bc，即 A 有两个不同的特征根，则 A 一定可以相似对角化；特殊地，若 ∣A∣<0，则 A 一定可以相似对角化。第二、若 (a−d)2=−4bc，即 A 有两个相同的实根 λ，只有 A=λE 即 A 为数量矩阵时，才可以相似对角化，由于在考试中不会问一个数量矩阵是否能相似对角化，所以当 (a−d)2=−4bc 时，A 一定不可以相似对角化。 \begin{aligned} &【小结】判断2阶矩阵\ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} 是否可相似对角化的两种可能的情况： \\ \\ &第一、若\ (a-d)^2 \neq -4bc，即\ A\ 有两个不同的特征根，则\ A\ 一定可以相似对角化； \\ &特殊地，若\ |A| < 0，则\ A\ 一定可以相似对角化。 \\ \\ &第二、若\ (a-d)^2 = -4bc，即\ A\ 有两个相同的实根\ \lambda，只有\ A = \lambda E\ 即\ A\ 为数量矩阵时，\\&才可以相似对角化，由于在考试中不会问一个数量矩阵是否能相似对角化，所以 \\ &当\ (a-d)^2 = -4bc\ 时，A\ 一定不可以相似对角化。 \end{aligned} 【小结】判断2阶矩阵 A=(acbd)是否可相似对角化的两种可能的情况：第一、若 (a−d)2=−4bc，即 A 有两个不同的特征根，则 A 一定可以相似对角化；特殊地，若 ∣A∣<0，则 A 一定可以相似对角化。第二、若 (a−d)2=−4bc，即 A 有两个相同的实根 λ，只有 A=λE 即 A 为数量矩阵时，才可以相似对角化，由于在考试中不会问一个数量矩阵是否能相似对角化，所以当 (a−d)2=−4bc 时，A 一定不可以相似对角化。
![![[Pasted image 20251124101351.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/da0bc7924d0348c8a713afdbef20db44.png)
解：∣A−λE∣=∣3−λ2−2−k−1−λk42−3−λ∣=∣1−λ2−20−1−λk1−λ2−3−λ∣=∣1−λ2−20−1−λk00−1−λ∣=(1−λ)(−1−λ)(−1−λ)=0 ⟹ λ1=1, λ2=λ3=−1.3−r(A−(−1)E)=3−r(42−2−k0k42−2)=2,故k=0.令B=A+E=(42−200042−2),B的特征值为0的特征向量为(−1210), (1201),B的特征值为2的特征向量为(101).A的特征值为1的特征向量为(−1210), (1201),A的特征值为−1的特征向量为(101).P=(−111200021), P−1AP=(−1000−10001). \begin{aligned} &解：|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} 3 - \lambda & 2 & -2 \\ -k & -1-\lambda & k \\ 4 & 2 & -3 - \lambda \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 & -2 \\ 0 & -1-\lambda & k \\ 1 - \lambda & 2 & -3 - \lambda \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 & -2 \\ 0 & -1-\lambda & k \\ 0 & 0 & -1 - \lambda \end{vmatrix} \\ &= (1 - \lambda)(-1-\lambda)(-1 - \lambda) = 0 \implies \lambda_1 = 1,\ \lambda_2 = \lambda_3 = -1. \\ \\ &3 - r(A - (-1) E) = 3 - r\begin{pmatrix} 4 & 2 & -2 \\ -k & 0 & k \\ 4 & 2 & -2 \end{pmatrix} = 2, 故k = 0. \\ \\ &令B = A + E = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & -2 \end{pmatrix}, B的特征值为0的特征向量为\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \\ &B的特征值为2的特征向量为\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}. \\ \\ &A的特征值为1的特征向量为\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \\ &A的特征值为-1的特征向量为\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}. \\ \\ &P = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix},\ P^{-1}AP = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned} 解：∣A−λE∣=3−λ−k42−1−λ2−2k−3−λ=1−λ01−λ2−1−λ2−2k−3−λ=1−λ002−1−λ0−2k−1−λ=(1−λ)(−1−λ)(−1−λ)=0⟹λ1=1, λ2=λ3=−1.3−r(A−(−1)E)=3−r4−k4202−2k−2=2,故k=0.令B=A+E=404202−20−2,B的特征值为0的特征向量为−2110, 2101,B的特征值为2的特征向量为101.A的特征值为1的特征向量为−2110, 2101,A的特征值为−1的特征向量为101.P=−120102101, P−1AP=−1000−10001.
【小结】判断3阶矩阵是否可相似对角化的三种可能的情况：第一、3个特征值互不相同（即有3个单特征值），可对角化；第二、仅有一个3重特征值（设为λ），当且仅当3−r(A−λE)=3时，即A=λE即（A为数量矩阵）时，可对角化；同样由于在考试中不会问一个数量矩阵是否能相似对角化，所以当A仅有一个3重特征值时，A一定不可以相似对角化。第三、有一个2重特征值λ1和一个单特征值λ2（本题的情况），当且仅当3−r(A−λ1E)=2，也即r(A−λ1E)=1时，可对角化。 \begin{aligned} &【小结】判断3阶矩阵是否可相似对角化的三种可能的情况： \\ \\ &第一、3个特征值互不相同（即有3个单特征值），可对角化； \\ \\ &第二、仅有一个3重特征值（设为\lambda），当且仅当3 - r(A - \lambda E) = 3时，即A = \lambda E即 \\ &（A为数量矩阵）时，可对角化；同样由于在考试中不会问一个数量矩阵是否能相似 \\ &对角化，所以当A仅有一个3重特征值时，A一定不可以相似对角化。 \\ \\ &第三、有一个2重特征值\lambda_1和一个单特征值\lambda_2（本题的情况），当且仅当 \\ &3 - r(A - \lambda_1 E) = 2，也即r(A - \lambda_1 E) = 1时，可对角化。 \end{aligned} 【小结】判断3阶矩阵是否可相似对角化的三种可能的情况：第一、3个特征值互不相同（即有3个单特征值），可对角化；第二、仅有一个3重特征值（设为λ），当且仅当3−r(A−λE)=3时，即A=λE即（A为数量矩阵）时，可对角化；同样由于在考试中不会问一个数量矩阵是否能相似对角化，所以当A仅有一个3重特征值时，A一定不可以相似对角化。第三、有一个2重特征值λ1和一个单特征值λ2（本题的情况），当且仅当3−r(A−λ1E)=2，也即r(A−λ1E)=1时，可对角化。
![![[Pasted image 20251124170107.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/8e39d9648b5f4d45912a97b77d24e763.png)
解：(1)∣A∣=∣02−301a−31−2a∣=2(a−3)+3{3+a=2+b2a−3=b ⟹ {a=4b=5(2) B的特征值：1,1,5. A的特征值为1,1,5.令C=A−E，则C的特征值0,0,4.C=(−12−3−12−31−23)C的特征值0的特征向量为(210), (−301)；C的特征值4的特征向量为(−1−11).A的特征值1的特征向量为(210), (−301)；A的特征值5的特征向量为(−1−11).故P=(2−3−110−1011) \begin{aligned} &解：(1)|A|=\begin{vmatrix} 0&2&-3\\0&1&a-3\\1&-2&a \end{vmatrix}=2(a-3)+3\\&\begin{cases} 3 + a = 2 + b \\ 2a - 3 = b \end{cases} \implies \begin{cases} a = 4 \\ b = 5 \end{cases} \\ \\ &(2)\ B的特征值：1, 1, 5.\ A的特征值为1, 1, 5. \\ \\ &令C = A - E，则C的特征值0, 0, 4.\\&C=\begin{pmatrix} -1 &2&-3\\ -1&2&-3\\1&-2&3 \end{pmatrix} \\ &C的特征值0的特征向量为\begin{pmatrix} 2\\1 \\ 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} -3\\0 \\ 1 \end{pmatrix}； \\ &C的特征值4的特征向量为\begin{pmatrix} -1 \\ -1\\1 \end{pmatrix}. \\ \\ &A的特征值1的特征向量为\begin{pmatrix} 2\\1 \\ 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} -3\\0 \\ 1 \end{pmatrix}； \\ &A的特征值5的特征向量为\begin{pmatrix} -1 \\ -1\\1 \end{pmatrix}. \\ \\ &故P = \begin{pmatrix} 2&-3&-1\\1&0&-1\\0&1&1 \end{pmatrix} \end{aligned} 解：(1)∣A∣=00121−2−3a−3a=2(a−3)+3{3+a=2+b2a−3=b⟹{a=4b=5(2) B的特征值：1,1,5. A的特征值为1,1,5.令C=A−E，则C的特征值0,0,4.C=−1−1122−2−3−33C的特征值0的特征向量为210, −301；C的特征值4的特征向量为−1−11.A的特征值1的特征向量为210, −301；A的特征值5的特征向量为−1−11.故P=210−301−1−11
【小结】矩阵A相似对角化的方法：先计算出矩阵所有的特征值λ1,⋯ ,λs；对于每个特征值λi，计算出(λiE−A)x=0的基础解系ξi1,ξi2,⋯ ,ξini（其中ni为特征值λi的重数）；以特征向量ξ11,ξ12,⋯ ,ξ1n1,ξ21,ξ22,⋯ ,ξ2n2,⋯ ,ξs1,ξs2,⋯ ,ξsns作为列向量即得到P，此时有P−1AP=diag{λ1,⋯ ,λ1,λ2,⋯ ,λ2,⋯ ,λs,⋯ ,λs}。相似标准形中特征值的排列顺序可以改变，只要保证P中特征向量的排列与之一致即可。 \begin{aligned} &【小结】矩阵A相似对角化的方法：先计算出矩阵所有的特征值\lambda_1,\cdots,\lambda_s；对于每个特 \\ &征值\lambda_i，计算出(\lambda_i E - A)\boxed{x} = \boxed{0}的基础解系\xi_{i1},\xi_{i2},\cdots,\xi_{in_i}（其中n_i为特征值\lambda_i的重 \\ &数）；以特征向量\xi_{11},\xi_{12},\cdots,\xi_{1n_1},\xi_{21},\xi_{22},\cdots,\xi_{2n_2},\cdots,\xi_{s1},\xi_{s2},\cdots,\xi_{sn_s}作为列向量即得到 \\ &P，此时有P^{-1}AP = diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_2,\cdots,\lambda_s,\cdots,\lambda_s\}。相似标准形中特征值的 \\ &排列顺序可以改变，只要保证P中特征向量的排列与之一致即可。 \end{aligned} 【小结】矩阵A相似对角化的方法：先计算出矩阵所有的特征值λ1,⋯,λs；对于每个特征值λi，计算出(λiE−A)x=0的基础解系ξi1,ξi2,⋯,ξini（其中ni为特征值λi的重数）；以特征向量ξ11,ξ12,⋯,ξ1n1,ξ21,ξ22,⋯,ξ2n2,⋯,ξs1,ξs2,⋯,ξsns作为列向量即得到P，此时有P−1AP=diag{λ1,⋯,λ1,λ2,⋯,λ2,⋯,λs,⋯,λs}。相似标准形中特征值的排列顺序可以改变，只要保证P中特征向量的排列与之一致即可。
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