13、多边形曲线的方向基弗雷歇距离及图距离分布近似算法研究

多边形曲线的方向基弗雷歇距离及图距离分布近似算法研究

在图形和曲线分析领域，计算多边形曲线的相似度以及图中顶点间的距离分布是重要的研究课题。本文将介绍两种不同但相关的研究内容，一是多边形曲线的方向基弗雷歇距离，二是图中距离分布的近似算法。

多边形曲线的方向基弗雷歇距离

在研究多边形曲线的相似度时，传统方法通常关注位置差异，但本文提出通过整合曲线段之间的方向差异来衡量两条多边形路径的相似度，这种方法具有平移和尺度不变性，能更好地捕捉两条路径的运动流。

方向基弗雷歇距离的计算

在计算方向基弗雷歇距离时，涉及到将最优路径 $\mu_{opt}$ 中的边 $e_{opt}$ 映射到图 $G$ 中的边 $e_{G}$，且 $e_{G}$ 需要满足两个条件：
1. $|e_{G}| 1 \leq |e {opt}| 1$。
2. $e {G}$ 与 $M$ 的正水平轴之间的角度至少与 $e_{opt}$ 与 $M$ 的正水平轴之间的角度接近 $45^{\circ}$。

此外，当 $\mu_{opt}$ 中的长边缘映射到 $G$ 时，其长度最多增加 $(1 + 16\varepsilon)$ 倍。由于 $\mu_{opt}$ 和 $\mu_{G}$ 都通过映射图中的相同单元格序列，这保证了 $\mu_{G}$ 的成本最多是 $\mu_{opt}$ 成本的 $(1 + 16\varepsilon)$ 倍。虽然每次映射操作可能会改变长边缘的角度，但最大角度变化等于 $f(\varepsilon) = \tan^{-1}(4\varepsilon)$。

通过构建图 $G$，