40、弗雷歇距离下时间序列的近似最近邻搜索

弗雷歇距离下时间序列的近似最近邻搜索

1. 基本概念

1.1 δ - 匹配与 δ - 自由空间

给定两条曲线 $\pi : [0, 1] \to \mathbb{R}$ 和 $\tau : [0, 1] \to \mathbb{R}$，若 $\max_{\alpha \in [0, 1]} |\pi(f(\alpha)) - \tau(g(\alpha))| \leq \delta$，则称 $\varphi$ 是 $\pi$ 和 $\tau$ 的 $\delta$ - 匹配。$\delta$ - 自由空间是参数空间 $[0, 1]^2$ 的一个子集，定义为 ${(x, y) \in [0, 1]^2 | |\pi(x) - \tau(y)| \leq \delta}$。

1.2 数据结构与字典

采用字典数据结构来存储一组 (键, 值) 对，当给定一个键时，返回与之关联的值。假设要存储 $n$ 个 (键, 值) 对，键来自于一个全域 $U^k$，完美哈希能提供一个使用 $O(n)$ 空间和 $O(k)$ 查询时间的字典，且能在 $O(n)$ 的期望时间内构建。在查找时，计算哈希函数需要 $O(k)$ 时间，访问哈希表中对应的桶需要 $O(1)$ 时间，检查存储的键是否与查询键相等需要 $O(k)$ 时间。

1.3 计算模型

所有数据结构都能在字 RAM 模型下运行。为简化表述，结果在实 RAM 模型下给出，假设能在常数时间内进行向下取整函数操作。下界是针对单元探测模型而言的，该模型计算查询对数据结构进行的内存访问（单元探测）次数。一个具有性能参数 $s$、$t$、$w$ 的单元探测数据结构由 $s$ 个内存单元