12、顺流而行：基于方向的多边形曲线弗雷歇距离

顺流而行：基于方向的多边形曲线弗雷歇距离

在曲线分析领域，测量两条多边形曲线之间的相似度是一个重要的问题。本文将介绍一种基于方向的弗雷歇距离，它结合了转向角距离的方向方法和弗雷歇距离的灵活映射，为曲线相似度测量提供了新的思路。

1. 背景知识

• 转向角距离与基于方向的弗雷歇距离的区别 ：转向角距离要求两人以恒定速度沿曲线 A 和 B 移动，不考虑所有映射 μ 的最小化，也不考虑复杂的参数化。而基于方向的弗雷歇距离解决了这个问题。
• 不同算法的时间复杂度
  • 转向角距离：计算两条分别具有 m 和 n 个顶点的多边形曲线的转向角距离，时间复杂度为 O(m + n)。在平移、旋转和缩放的情况下，完全匹配的最小化时间复杂度为 O(nm log nm)，部分匹配为 O(n²m²)。
  • 连续动态时间规整：可用于考虑两条多边形曲线之间的非垂直映射，时间复杂度为 O(nm(n + m) log nm)，该算法在通用流形上使用 Lp 度量计算最短路径。
  • 基于方向的弗雷歇距离：考虑角度距离，时间复杂度为 O(nm)，使用动态规划实现，更为简单。

2. 预备知识

• 多边形曲线与欧几里得长度 ：设 A 和 B 是 Rd 中的两条多边形曲线，分别有 n 和 m 个顶点，顶点分别记为 a₁, …, aₙ 和 b₁, …, bₘ。线段 s（或多边形曲线 s）的欧几里得长度记为 ||s||。
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