Yu Gi Oh!

1. 定义: 欧拉函数 Φ(X) 为小于等于X且与X互质的数的个数2. 重要性质○1.Φ(p)=p-1 (p是质数). ○2.Φ(x)为积性函数 即 Φ(p*q)=Φ(p)×Φ(q) 其中 p,q互质 . ○3.Φ(pk)=(p-1)×(pk-1) (p是质数). ○4.当p为质数且p|x时，Φ(x*p)=Φ(x)*p. ○5.设n是一个正整数,∑d|nΦ(d)=n∑d|nΦ...

题目链接题目描述每次给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对。题解首先想到枚举质数，然后就可以当作之前做过的莫比乌斯反演的题来做。∑pmin(N,M)∑d=1min(Np,Mp)μ(d)∗Npd∗Mpd∑pmin(N,M)∑d=1min(Np,Mp)μ(d)∗Npd∗Mpd\sum_p^{min...

题目链接题目描述求： ∑i=1n∑j=1mlcm(i,j)∑i=1n∑j=1mlcm(i,j)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mlcm(i,j) lcm(i,j)lcm(i,j)lcm(i,j) 表示i，j的最小公倍数题解先是一步简单的变形: ∑i=1n∑j=1mijgcd(i,j)∑i=1n∑j=1mijgcd(i,j)\sum_{i=1}^n\sum...

题目链接题目描述自己看去吧Sol同步赛上不会multiset....其实就是一堆同于方程,但是x前面也有系数,即: ax≡b (mod p)ax≡b (mod p)ax\equiv b\ (mod\ p) 所以先把单个同于方程先用exgcd解出来设为x1x1x_1,令d=gcd(a,p)d=gcd(a,p)d=gcd(a,p) ...

题目链接题目描述求:∑d=1n(−1)⌊d∗r∗d⌋\sum_{d=1}^{n} (-1)^{\big\lfloor \sqrt{d*r*d} \big \rfloor}d=1∑n​(−1)⌊d∗r∗d​⌋Sol就是:∑d=1n(−1)⌊dr⌋\sum_{d=1}^{n} (-1)^{\big\lfloor d\sqrt{r} \big \rfloor}d=1∑n​(−1)⌊dr​⌋...

题目链接题意简述区间赋值模意义下等差数列,询问区间和N≤109,Q≤105N\leq 10^9,Q\leq 10^5N≤109,Q≤105Sol每次操作就是把操作区间[L,R][L,R][L,R]中的数赋值成:(X−L+1)∗A mod B(X-L+1)*A\ mod\ B(X−L+1)∗A mod B考虑用线段树维护。我们只需要能快速知道一...

洛谷题目描述维护n个初始为空的可重集，支持以下操作：1 x v:令集合x等于{v}2 x y z:令集合x等于集合y与z的并3 x y z:令集合x等于集合y与z的积，A∗B={gcd(a,b)∣a∈A,b∈B}A∗B=\{gcd(a,b)∣a∈A,b∈B\}A∗B={gcd(a,b)∣a∈A,b∈B}4 x v:询问v在集合x中出现次数模2的结果Sol个人感觉是一道非常好的题目。...

题目链接题意简述求小于 n 且与 n 互质的数的 k 次方之和。Sol要求的东西:∑i=1nik[gcd(i,n)=1]\sum_{i=1}^n i^k [gcd(i,n)=1]i=1∑n​ik[gcd(i,n)=1]枚举 gcd 上个莫比乌斯函数:∑i=1nik∑d∣n,d∣iμ(d)\sum_{i=1}^n i^k \sum_{d|n,d|i} \mu(d)i=1∑n​ikd∣n...

题目链接题意给定一个长度为 n 的序列 a , 给定一个正整数 c每次修改操作是把一段区间内的数 xix_ixi​ 修改为 cxic^{x_i}cxi​询问区间和模 p 的结果Sol修改是把一个数变成 cxc^xcx , 我们很容易想到降幂公式 , 这里由于 p 不一定与 c 互质 , 那么我们就使用扩展欧拉公式 , 也就是:ax={ax  &Th...

题目链接题目描述有一张N*m的数表，其第i行第j列（1 < =i < =n，1 < =j < =m）的数值为能同时整除i和j的所有自然数之和。给定a，计算数表中不大于a的数之和。题解假设没有a的限制 每次是求： ∑ni=1∑mj=1∑d|gcd(i,j)d∑i=1n∑j=1m∑d|gcd(i,j)d\sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}...

题目链接题目描述设d(x)为x的约数个数，给定N,M,求∑Ni=1∑Mj=1d(ij)设d(x)为x的约数个数，给定N,M,求∑i=1N∑j=1Md(ij)设d(x)为x的约数个数，给定N,M,求\sum^N_{i=1}\sum^M_{j=1}d(ij) 其中d(x)表示x的约数个数其中d(x)表示x的约数个数其中d(x)表示x的约数个数题解首先要知道如下结论: d(i...

题目链接题目简述给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。题解令t(x)为 gcd(i,N) 为 x 的个数。∴ t(1)=Φ(N) ; t(x)=∑i<=ni=1(gcd(i,N)==x)=∑i<=ni=1(gcd(ix,nx)==1)=∑Φ(nx)t(x)=∑i<=ni=1(gcd(i,N)==x)=∑i...

题目链接题目描述输入 N 和 M (2<=N<=1000000000, 1<=M<=N), 找出所有的X满足1<=X<=N 且 gcd(X,N)>=M.题解1.首先若m==1,则答案为N 2.m≠1时，初步想法，将N进行质因数分解，则答案为其质因数的组合的积中大于m的组合个数，但实现起来不现实。 ...

题目链接题目描述:作为体育委员，C君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的N * N的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。 现在，C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。 解析:观察发现，以观察点的右上为第1行第1列，则能被看到的点(x,y)在第x行第y列，必须满 **gcd...

1. 同余1. 同余的基本概念及性质若xxx%m=am=am=a即m是 x-a 的一个因子, 则称x与a关于m同余,记作:x≡a(modm)x≡a(modm)x≡a(mod \;m)同余基本性质: ○1. 自反性:a≡a(modm)a≡a(modm)a≡a(mod\;m) ○2. 对称性:a≡b(modm)−>b≡a(modm)a≡b(modm)−>b≡a(m

题目链接题目描述给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值。题解很不错的一道题。 由于我们有amodb=a−floor(a/b)∗b;amodb=a−floor(a/b)∗b;a\;mod\;b= a-floor(a/b)*b; 对于floor(a/b)相等的等差数列,我们就可以除法分块来...

题目链接题目描述求∑∑((nmodi)∗(mmodj))其中1<=i<=n,1<=j<=m,i≠j∑∑((nmodi)∗(mmodj))其中1<=i<=n,1<=j<=m,i≠j\sum\sum((n\;mod\;i)*(m\;mod\;j))其中1i≠ji≠ji\ne j，以为这和余数求和一样… 但是既然又和取模的和有关，与余数求和的...

原根1.定义:定义Ordm(a)Ordm(a)Ord_m(a)为使得ad≡1(modm)ad≡1(modm)a^d\equiv1\;(mod\;m)成立的最小的d(其中a和m互质) 称之为a模m的阶。 阶的性质:Ordm(a)|Φ(m)Ordm(a)|Φ(m)Ord_m(a)|\Phi(m) 由欧拉定理可知: Ordm(a)≤Φ(m)Ordm(a)≤Φ(m)Ord_m(a)\l...

莫比乌斯反演1. 定义对于一个定义在非负整数上的函数 f(n)f(n)f(n),定义函数F(n)F(n)F(n)。F(n)=∑d|nf(d)F(n)=∑d|nf(d)F(n)=\sum_{d|n}f(d)那么有如下结论：f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})其...

https://www.luogu.org/problemnew/show/P5171题意求满足如下不等式的非负整数 x,yx,yx,y 的对数ax+by≤cax+by\leq cax+by≤cSola,b,c 都是非负的,那么先随便变个形:y≤c−axby\leq\frac{c-ax}{b}y≤bc−ax​显然答案就是:∑x=0⌊ca⌋(⌊c−axb⌋+1)\sum_{x=0}^...