同余&逆元简单总结

同余&逆元

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1. 同余

1. 同余的基本概念及性质

1. 若$x$%$m=a$即m是 x-a 的一个因子, 则称x与a关于m同余,记作:$$x\equiv a(modm)$$
2. 同余基本性质:

○1. 自反性:$a\equiv a(modm)$

○2. 对称性:$a\equiv b(modm)\to b\equiv a(modm)$

○3. 传递性:$a\equiv b(modm),b\equiv c(modm)\to a\equiv c(modm)$

○4. 同加性:$a\equiv b(modm)c\equiv d(modm)\to a+c\equiv b+d(modm)$

○5. 同乘性:$a\equiv b(modm)c\equiv d(modm)\to ac\equiv bd(modm)$

○6. 同幂性:$a\equiv b(modm)\to a^n\equiv b^n(modm)$n是自然数

○7. 若$a\equiv b(modm),n|m$ 则 $a\equiv b(modn)$

○8. 若$ac\equiv bc(modm),(c,m)=d$则$a\equiv b(mod\frac{m}{d})$

○9. 若$(m,n)=1,a\equiv b(modm),a\equiv b(modn)\iff a\equiv b(modmn)$

2. 求解线性同余方程 $ax\equiv c(modb)$

可转化为求解方程: $ax+by=c$
(同余方程和线性方程的关系很重要,经常用到!!)
1.预处理:

	if(a<0) a=-a,c=-c;
	while(c<0) c+=b;//保证 a,c 为正

2.第一步: 检验是否有解

	int gcd=Gcd(a,b);
	if((c%gcd)!=0) return -1;//若c不是gcd(a,b) 的倍数，则无解
	//可以转化为直线上的整点来理解

3.第二步:求解同余方程:$ax\equiv gcd(a,b)(modb)$即$ax+by=gcd(a,b)$
扩展欧几里得算法

inline int ex_gcd(int a,int b)
{
   
   
	if(b==0) {
   
   x=1;y=0;return a;}
	int gcd=ex_gcd(b,a%b);
	int tmp=x;x=y;
	y=tmp-a/b*y;//扩欧
	return gcd;
}
//最后得到的x即为原同余方程的一个可行解;

扩欧的证明:
当最后 b’==0 时a’==gcd(a,b) 则此时 $a^{\prime }x+b^{\prime }y=gcd(a,b)\ast x$
令$x=1,y=0$即得最后的一组解。
考虑从后往前推出$ax+by=c$的解:
设我们前一步求出的解为$x_1,y_1,此时a,b的值就表示为a,b,当前的解表示为x,y$
那么因为$gcd(a,b)=gcd(b,a$%$b),a$%$b=a-(a/b)\ast b$有:$$b\ast x_1+(a-(a/b)\ast b)y_1=gcd(a,b)$$
则:
$$b\ast x_1+(a-(a/b)\ast b)y_1=ax+by$$
整理得:
$$a{y}_1+b(x_1-(a/b)y_1)=ax+by$$
容易看出:
$$x=y_1,y=x_1-(a/b)y_1$$
即证。

4.第四步:根据题意得出答案

若要求出最小正整数解：

    while(x<0) x+=b;x%=b;
	b/=gcd;//mod 要变成 mod/gcd ;(mod 即为 b)
	x=x*c/gcd;//同余的同乘性质
    while(x<0) x+=b;x%=b;//最小正整数解

若要求出解的个数(或所有解)

    int tot=gcd(a,b);// 只有gcd(a,b) 个解
    //要求出每个解，只需对其不断加 b/gcd 即可(同时y-=a/gcd)

3.求解单变量模线性方程组(中国剩余定理)

有如下方程:
$$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(mod{m}_1)\\ x\equiv a_2(mod{m}_2)\\ x\equiv a_3(mod{m}_3)\\ \dots \dots \dots \\ x\equiv a_n(mod{m}_n)\end{array}$$
其中$(m_1{m}_2{m}_3\dots m_n$两两互质$)$
为了方便表示,将x设为S
(1)设$M={\Pi }_{i=1}^n{m}_i$， 设$M_i=M/m_i$
(2)可知对于每一个$i有:(M_i,m_i)=1$
即:
$M_i$