【LuoguP3327】约数个数和

最新推荐文章于 2021-12-30 16:00:35 发布
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该博客主要介绍了LuoguP3327题目的解决方案，涉及数学概念d(x)——x的约数个数，并给出求解公式d(ij)=∑ki|i∑jl|jgcd(k,l)=1。文章指出在解决过程中，不能直接递推求解，而需要使用筛选方法来计算n内所有数的约数个数的和，利用约数个数的积性函数性质进行筛法计算。" 85232679,7760858,Linux系统中crontab定时任务的安装与配置详解,"['Linux', '系统管理', '定时任务', 'crontab']

题目链接

题目描述

设d(x)为x的约数个数，给定N,M,求∑Ni=1∑Mj=1d(ij) 设 d ( x ) 为 x 的 约 数 个 数 ， 给 定 N , M , 求 ∑ i = 1 N ∑ j = 1 M d ( i j )
其中d(x)表示x的约数个数 其 中 d ( x ) 表 示 x 的 约 数 个 数

题解

首先要知道如下结论:
d(ij)=∑ik|i∑jl|jgcd(k,l)=1 d ( i j ) = ∑ k | i i ∑ l | j j g c d ( k , l ) = 1

然后开始随便推式子：
原式化为

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洛谷 P3327 [SDOI2015]约数个数和 (莫比乌斯反演)
Ab.Ever
08-06 2370
题目描述 设d(x)d(x)d(x)为xxx的约数个数，给定NNN、MMM，求 ∑Ni=1∑Mj=1d(ij)∑i=1N∑j=1Md(ij)\sum^N_{i=1}\sum^M_{j=1}d(ij) 输入输出格式 输入格式： 输入文件包含多组测试数据。第一行，一个整数T，表示测试数据的组数。接下来的T行，每行两个整数N、M。 输出格式： T行，每行一个整数，表示你所求的答案。 ...
信息学奥赛初赛天天练-37-CSP-J2021阅读程序-质数、合数、约数、约数个数、约数和、增加质因数对约数个数、约数和的影响
ya888g
06-27 840
任何一个大于1的自然数 N，如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P1^a1 * P2^a2 * P3^a3。唯一分解定理又称为算术基本定理，其性质是每个大于1的自然数N（非质数）均可以被分解且他们的分解形式是唯一的。合数是指在大于1的整数中，除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。一个大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数的数称为质数。2、3、5、7、11、13、17、19等都是质数。4、6、8、9、10、12、14、15等都是合数。
bzoj3994【SDOI2005】约数个数和
AaronPolaris
04-05 2025
莫比乌斯反演(依旧没题解...hhh)
tyvj 1392 shlqsh数(约数个数和)
weixin_30258027的博客
11-16 162
P1392 shlqsh数 时间: 1000ms / 空间: 131072KiB / Java类名: Main 描述 输入两个自然数，输出他们之间所有数的约数个数之和 输入格式 两个自然数x和y(0<=x,y<=10000000) 输出格式 一个数，即x与y之间所有数的约数个数之和 测试样例1 输入 2 5 输出 9 备注 ...
[SDOI2015]约数个数和
psc233的博客
02-14 693
题意：设d(i)为i的约数的个数，给你N,M，求 解析： 引理： 证明： 1.若i,j互质，则该引理显然 2.若i,j不互质，我们考虑使用数学归纳法 若已有上述式子成立，我们再加入一个质数p 则 则我们考虑一下 1.若x,y都不含p因子,则有d(ij)的贡献 2.若只有x含有p因子,则产生a*d(ij)的贡献 3.若只有y含有p因子,则产生b*d(ij)的...
一个整数的约数个数与约数和的计算方法.pdf
11-16
其中，一个整数的约数个数和约数和是衡量整数性质的重要指标，它们在求解最大公约数、最小公倍数以及其他各种数学问题中有着广泛的应用。本文将详细介绍如何计算一个整数的约数个数与约数和，以及它们在实际问题中的...
一个整数的约数个数和约数和的计算方法.doc
09-28
在数学的数论领域中，整数的约数个数和约数和的计算是一个基础且重要的问题。本文将深入探讨这一主题，并通过具体的计算方法和实例来阐述相关概念。我们先从整数的约数个数和约数和的基本概念讲起，然后介绍计算这两...
Python利用matplotlib绘制约数个数统计图示例
09-18
通过这个示例，你可以了解到如何利用matplotlib进行数据可视化，以及如何编写计算和分析约数个数的函数。这不仅可以加深对数学概念的理解，也有助于提高编程技能。在实际应用中，类似的统计图绘制技术常用于数据分析...
一个数的所有约数
01-07
一个数的所有约数的MATLAP代码。约数定义：约数，又称因数。整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b的倍数，b称为a的约数。在大学之前，"约数"一词所指的一般...
约数个数 约数之和
magnte的博客
08-24 539
分别求n个数的乘积的所有约数个数以及和。 有分解质因数公式，将每个数都分解质因数，用一个 map 来存每个质数的底数和指数。 p1 的质数可以从零取到 a1, p2 可以取到 a2，以此类推，每个约数由 p1 到 pk 各选一个质数相乘得来，所以约数个数等于 (a1 + 1) * (a2 + 1) …(ak + 1). 将约数之和的公式展开可以发现就是所有约数相加。 求(p1 ^ 0 + p1 ^ 1 + p1 ^ 2 + … + p1 ^ a）的方法：设 t = 1，执行一次 t = p * .
luogu P3327 [SDOI2015]约数个数和
zsyz_ZZY的博客
12-13 381
背景： 以下图片均来自我的PDFPDFPDF文件，谢绝转载。 题目传送门： https://www.luogu.org/problemnew/show/P3327 题意： 思路： 代码： #include&lt;cstdio&gt; #include&lt;cstring&gt; #include&lt;algorithm&gt; #define LL long long #...
约数的个数和约数之和
qq_44879626的博客
08-17 532
对任意一个数N，d是N的一个约数，他们可以写成下列格式 约数个数就转化为等于每个因子有多少种选法 在int范围内，约数最多的数有大概1500个约数。 代码实现 //先对a1, a2,,...an 分别分解，再套用公式 #include<iostream> #include<algorithm> #include<unordered_map> using namespace std; const int mod = 1e9 + 7; unordered_map&lt.
【SDOI2015】约数个数和
banchangyue3928的博客
11-22 191
题面 求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md(ij)\) \(\leq 50000\)组数据，\(1\leq n,m\leq 50000\)。 题目分析 首先，你需要知道一个结论： \[ d(ij)=\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}[gcd(x,y)==1] \] 你可以认为\(x,y\)表示你选择的因数为\(\frac i x \c...
约数个数+约数之和（数论）
国家一级划水运动员的博客
07-25 598
这是一个目录约数个数约数之和 约数个数 题目描述 给定 n 个正整数 ai，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 1e9+7 取模。 输入描述 第一行包含整数 n。 接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。 输出描述 输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对 1e9+7 取模。 数据范围 1 ≤ n ≤ 100, 1 ≤ ai ≤ 2e9； 由于本题的数据范围为 2e9 ，因此先计算出n个正整数的乘积再使用试除法一定会爆，此处可通过约数的性质进行解决。 可将n个正整数都拆分成有限个素数之
约数的和及约数的个数
qq_51538518的博客
10-02 3460
约数的和及约数的个数 1.约数的个数等于:所有质因数的指数加上1后的乘积; 若一个数分解质因数后为(am)*(bn),其中a,b均为质因数;m,n均为相应质因数的指数. 则约数个数为(m+1)(n+1). 例如: (1)12=2²3,质因数有2和3,其指数分别为2和1,那么12的约数有(2+1)(1+1)=6(个); (2)60=2²35,质因数2,3,5的指数分别为2,1,1,那么60的约数有(2+1)(1+1)(1+1)=12(个). 2.一个数所有约数之和等于:先把每个质因数从0次幂一直加到其最高次幂
约数个数的和（C语言）
llvyeriji的博客
12-30 3537
题目描述 给个n，求1到n的所有数的约数个数的和~ 输入描述: 第一行一个正整数n 输出描述: 输出一个整数，表示答案 输入 复制 3 输出 复制 5 说明 样例解释： 1有1个约数1 2有2个约数1,2 3有2个约数1,3 备注: n <= 100000000 正常想法是用一个双重循环对每个数的约数查找，发现是约数则加1，但是这样简单的想法当然是The Time Limited，所以要请出我们的数论了，数学还是非常重要的。 初次接触..
约数的个数与和（基本算数定理求解）
chp的博客
10-27 1182
目录基本算数定理原理由算数基本定理而来的重要推论:[acwing 870. 约数个数](https://www.acwing.com/problem/content/872/) 基本算数定理 在求解之前，我们先来了解一下基本算数定理。 原理 算术基本定理可表述为：任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P1a1∗P2a2∗P3a3∗......∗PnanN=P_1^{a1}*P_2^{a2}*P_3{a3}*......*P_n^{an}N=P1a1​∗P2a2​
题解——约数个数和
weixin_52527136的博客
07-20 278
题目
求约数个数和约数之和
最新发布
07-25
### 计算一个整数的约数个数及所有约数的和 要计算一个整数的约数个数及其所有约数的和，可以采用两种不同的方法：**暴力枚举法**和**质因数分解法**。后者在处理大整数时效率更高。 #### 暴力枚举法 对于一个正整数 $ n $，可以通过遍历从 1 到 $ \sqrt{n} $ 的所有整数来判断是否是其约数。 - **约数个数**：每找到一个小于 $ \sqrt{n} $ 的因数 $ i $，若 $ i \neq n/i $，则 $ n $ 同时具有 $ i $ 和 $ n/i $ 两个因数，因此每次找到因数时可以将计数加 2；若 $ i = n/i $，则只加 1。 - **约数和**：同理，每次找到因数时，将 $ i $ 和 $ n/i $（如果不同）加入总和中。 ```c #include <stdio.h> #include <math.h> int main() { int n, i, count = 0, sum = 0; printf("请输入一个整数："); scanf("%d", &n); for (i = 1; i <= sqrt(n); i++) { if (n % i == 0) { if (i == n / i) { count += 1; sum += i; } else { count += 2; sum += i + n / i; } } } printf("约数个数：%d\n", count); printf("约数和：%d\n", sum); return 0; } ``` 该方法适用于较小的整数，时间复杂度为 $ O(\sqrt{n}) $。 #### 质因数分解法 若已知整数 $ n $ 的质因数分解为： $$ n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k} $$ 则： - **约数个数**：$$ \text{count} = (a_1 + 1)(a_2 + 1)\ldots(a_k + 1) $$ - **约数和**：$$ \text{sum} = (1 + p_1 + p_1^2 + \ldots + p_1^{a_1})(1 + p_2 + p_2^2 + \ldots + p_2^{a_2})\ldots(1 + p_k + p_k^2 + \ldots + p_k^{a_k}) $$ 例如，对于 $ n = 20 = 2^2 \cdot 5^1 $，其约数个数为 $ (2+1)(1+1) = 6 $，约数和为 $ (1+2+4)(1+5) = 7 \cdot 6 = 42 $ [^2]。 该方法适用于已知质因数分解的场景，计算效率更高。 #### 示例：质因数分解后计算 ```python def divisor_count_and_sum(n): count = 1 sum_divisors = 1 i = 2 while i * i <= n: exponent = 0 while n % i == 0: n //= i exponent += 1 count *= (exponent + 1) sum_powers = 0 for j in range(exponent + 1): sum_powers += i ** j sum_divisors *= sum_powers i += 1 if n > 1: count *= 2 sum_divisors *= (1 + n) return count, sum_divisors # 示例 print(divisor_count_and_sum(20)) # 输出：(6, 42) ``` ###
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