【LuoguP5383】[模板]普通多项式转下降幂多项式

传送门

Sol

(怎么老是有人喜欢出新的多项式毒瘤板子,懒得整到一起了)

核心就是把 幂用下降幂来代替。

使用斯特林数展开幂为下降幂:

$$x^n=\sum _{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i}\right)i!S(n,i)=\sum _{i=0}^{n}S(n,i)x^{\underline{i}}$$

那么要求的多项式:

$$\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{x}^i=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i\sum _{j=0}^{j}S(i,j)x^{\underline{j}}$$
交换求和顺序:
$$\sum _{j=0}^{n-1}{x}^{\underline{j}}\sum _{i=j}^{n-1}{a}_{i}S(i,j)$$

那么求出后面那个东西就行了。由于当 $i<j$时 $S(i,j)=0$,所以 $i$ 可以从 $0$ 开始枚举。这个就是一个要求一列的斯特林数的模型。

把斯特林数拆开:
$$\sum _{i=0}^{n-1}\frac{a_i}{j!}\sum _{k=0}^j$$