【POJ-P1664 】放苹果

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题目描述

将n个无区别的苹果放到m个无区别的盘子里，允许有的为空，求方案数。

题解

数据是水的，但重要的是思路与方法。(仔细想想这题超简单)

法一:$O(n^3)的dp$
设dp[i][j][k]表示第i个盘子放了j个，当前共放k个的方案数。要想排重，只需保证每一个盘子中苹果的数目不降即可。
转移:

$$dp[i][j][k]=\sum^{x=0}_{x<=k} dp[i-1][j-k][x]$$
最后累加 $dp[m][n][x]$即为答案
但这样是 $O(n^4)$的但是对于 $dp[i-1][j-k][x]$我们可以记录一个前缀和，这样就优化到 $O(n^3)$了。空间上也可采用滚动数组优化成 $O(n^2)$

法二:$O(n^2)$ dp
上面的情况下我们枚举了三个东西，能不能不维护那个k呢？
既然是计数问题，考虑能不能递推出解，即由数据小的递推到数据大的
设$dp[i][j]表示i个盘子，j个苹果时的答案$。
我们可以发现，对于$dp[i][j]$来说，若有盘子没有放苹果，那么这部分的答案和$dp[i-1][j]$是一样的，为什么是一定$i-1$呢，因为若再有空的盘子，$dp[i-1][j]$已经将其包括在内。
那都放了苹果的话怎么办呢?
这相当与在所有的盘子上不停地拿走苹果直到有一个盘子没有苹果，再相同处理。
但是我们只需拿一次就行了，理由也是拿一次之后的结果已经包含了拿多次。
综上有:

$$dp[i][j]=dp[j][j]\;\;\;\;\;\;j<i$$
$$dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-i]\;\;\;\;\;\;\;\;j>=i$$

---

代码如下:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=2001;
typedef long long ll;
ll dp[N][N];
int main()
{
    int n,m;cin>>n>>m;
    for(register int i=0;i<=n;i++) dp[1][i]=1;
    for(register int i=2;i<=m;i++)
    {
        dp[i][0]=1;
        for(register int j=1;j<=n;j++){
            if(j<i) dp[i][j]=dp[j][j];
            else dp[i][j]=dp[i][j-i]+dp[i-1][j];
        }
    }
    printf("%lld\n",dp[m][n]);
}