【CF 285E】Positions in Permutations(容斥原理/二项式反演)

洛谷链接

题目描述

称一个 $1\sim n$ 的排列的完美数为有多少个$i$ 满足 $|P_i-i|=1$
求有多少个长度为n 的完美数恰好为 m 的排列。

Sol

设 $f(k)$ 表示长度为 $n$ 的排列恰好有 $k$ 个完美数的方案数
但是发现不好算 , 我们先往容斥上想

设 $F(k)$ 表示至少有 $k$ 个的方案
先考虑一个dp , 我们考虑当前位置上的数是不是要是幸运数

设$f[i][j][0/1][0/1]$表示考虑到了第 $i$ 位 , 至少已经有了 $j$ 个幸运数 , $i$ 和 $i+1$ 是否已经被用于充当幸运数 , 其他的位置不予考虑的方案数

为什么要这样设? 因为我们只考虑当前为就很好统计个数 , 然后当前位要成为幸运数就只能是 $i+1$ 和 $i-1$ , 所以记录一下有没有用过

我们先自己 YY 一个转移(我这里卡常,数组换了维):

转移代码:

for(register int i=2;i<=n;++i){
    
    
	for(register int j=0;j<i;++j){
    
    
		upd(dp[0][0][i][j],dp[0][0][i-1][j]);
		upd(dp[0][0][i][j],dp[1][0][i-1][j]);
		upd(dp[1][0][i][j],dp[0][1][i-1][j]);
		upd(dp[1][0][i][j],dp[1][1][i-1][j]);