A/B——同余定理+逆元（除法逆元）

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本文介绍了如何利用同余定理和逆元来解决模运算问题，特别是针对大整数除法的情况。通过示例数据解释了如何计算(A/B) % 9973，其中A和B是给定的整数，B可以非常大，但A一定能被B整除，并且gcd(B, 9973) = 1。给出了输入输出格式及样例，强调了模9973下的计算方法。" 111685932,10327784,PyTorch张量详解：创建与基本操作,"['PyTorch', '深度学习', '张量操作', '数据类型', 'Numpy']

同余定理:
数论中的重要概念。给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b ( modm)a≡b ( modm)。对模m同余是整数的一个等价关系

(a+b ) % c=(a % c+b % c) % c(a+b ) % c=(a % c+b % c) % c

(a ∗ b) % c=(a % c ∗ b % c) % c(a ∗ b) % c=(a % c ∗ b % c) % c

令
a=k1∗m+r1b=k2∗m+r2a=k1∗m+r1b=k2∗m+r2

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同余&逆元简单总结
Yu Gi Oh!
02-14 659
1. 同余 1. 同余的基本概念及性质 若xxx%m=am=am=a即m是 x-a 的一个因子, 则称x与a关于m同余,记作:x≡a(modm)x≡a(modm)x≡a(mod \;m) 同余基本性质: ○1. 自反性:a≡a(modm)a≡a(modm)a≡a(mod\;m) ○2. 对称性:a≡b(modm)−>b≡a(modm)a≡b(modm)−>b≡a(m
A/B(逆元)
你就是根号四的博客
10-17 2255
逆元定义：对于正整数和，如果有，那么把这个同余方程中的最小正整数解叫做模的逆元。 一般用欧几里得扩展来做：ax+by=1;称a和b互为逆元 详细扩展欧几里德算法介绍，解决该题的关键是： 1、了解扩展欧几里德算法，可以运用其解出gcd(a,b)=ax1+by1中的x1、y1的值 2、由题可得以下内容： n=A%9973，则n=A-A/9973*9973。又A/B=x，则
NEFU1493 快速幂取余+除法取余（逆元）
路转溪桥忽见
09-03 580
NEFU1493 快速幂取余+除法取余（逆元） 题目： Gugu 有两个长度无限长的序列A,B A0=a^0/0!,A1=a^1/1!,A2=a^2/2!,A3=a^3/3!…. B0=0, B1=b^1/1!,B2=0,B3=b^3/3!,B4=0, B5=b^5/5! … Douge 看到这道这两个序列很觉得很麻烦，所以他想到一个好点子，他想把这两个序列结合一个序列C ...
除法逆元
baodream的博客
09-03 821
除法逆元可求（a/b）%mod也就等于（a%mod）*（inv（b））%mod              （inv（b）就是b的逆元）inv（b） =  （b^(mod-2)）%mod     (可用快速幂求解)证明可查看一下博客，写得非常不错，还有更多的逆元求解方法博客传送门：点击打开链接-------------华丽的分割线-------------2018.5.3总结一下几种求逆元的方法//...
除法逆元入门
weixin_30600503的博客
08-19 251
对于m=（a/b）（mod p）问题 由于除法不能用同余定理，我们需要将除法转换成乘法 ( a / b ) % p =a * inv ( b , p ) %p =( a%p * inv ( b , p )%p ) %p 接下来就是乘法求逆元了， 可以看博客链接 乘法逆元数论 乘法 逆元 扩展欧几里得算法 要求a,n互为素数，存在唯一解 代码...
7.24 同余定理+逆元
不甘
08-03 1791
1.同余定理 1.1定义 所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数d去除，有相同的余数。d数学上的称谓为模。如a=6,b=1,d=5,则我们说a和b是模d同余的。因为他们都有相同的余数1。 数学上的记法为： a≡ b(mod d) 可以看出当n<d的时候,所有的n都对d同商,比如时钟上的小时数,都小于12,所以小时数都是模12的同商. 对于同余有三种说法都是等价的,分别为: ...
取模除法（逆元）（费马小定理）（线性求逆元）
BUG_Creater_jie的博客
07-19 1417
文章目录引言逆元费马小定理内容应用证明thanks for reading！ 引言 我们做题时经常会由于答案过大，被要求使答案对一个质数取模 我们都知道，加和乘对取模是没有影响的 减法也只需要写一个： int mod_minus(int a,int b){return a-b>=0 ? a-b : a-b+mod} 就可以啦 但是除法就很头疼 怎么办呢？ 这里介绍一种比较简单的利用费马小定理求逆元实现取模除法的途径 结合快速幂，每次复杂度为log级别 （据高二大佬说还有线性做法，不过我不会 ） 首先
同余方程 + 乘法逆元
iamcht的博客
01-14 1099
同余方程   分析：为了介绍扩展欧几里得，先介绍一下贝祖定理：即如果a、b是整数，那么一定存在整数x、y使得ax + by = gcd(a, b)。   即如果ax + by = m有解，那么m一定是gcd(a, b)的若干倍。（可以来判断一个这样的式子有没有解）   有一个直接的推论：如果ax + by = 1有解，那么gcd(a, b) = 1，也就是说a和b互质。   如果我们想要求出a和b的最大公因数gcd(a, b)，最容易想到的就是古老悠久而又相当强大的辗转相除法： int gcd(int a,
求解逆元的几种姿势——费马小定理、欧拉定理、扩展欧几里得以及线性求法 C++
这是一篇普通的博客。
03-17 1081
相信取模大家已经不怎么陌生，在值很大的题目里经常要我们对答案进行取模，只需熟练运用以下一些公式即可轻松搞定这种题目： (a+b)%c=a%c+b%c(a×b)%c=a%c×b%c(a−b)%c=(a%c−b%c+c)%c (a + b) \% c = a \% c + b \% c \\ (a \times b) \% c = a \% c \times b \% c \\ (a - b) \% c = (a \% c - b \% c + c) \% c \\ (a+b)%c=a%c+b%c(a×b)%c
(数论) 除法取模(求逆元)
cuber-lotus的博客
10-29 3423
hdu-A/B - 1576 The Euler function - 2824 P5091 【模板】扩展欧拉定理 372. 超级次方 P3811 【模板】乘法逆元 费马小定理 扩展欧几里得
基础数论学习笔记-----------逆元【除法取模运算的关键】
mengxiang000000
01-19 3352
逆元 一、什么是逆元?  如果存在一个最小的正整数的解x使得：ax≡1（mod m）；那么称作x是a的逆元。 二、求逆元有什么用处呢？ 在有除法的取模运算：（b/a）%m中，对于取模运算中，+ - *是没有错误的，所以直接相除再取模的结果不一定就是正确的。 如果我们此时有a的逆元，那么结果就是：（b*a的逆元）%m； 将除法很巧妙的变成了乘法。 三、那么我们如
逆元（关于除法取模）
Starbucks
10-06 8326
每次除法取余都得去找板子，为了实现除法取余，先初步了解了一下逆元这个东西 关于逆元，首先要提一下费马小定理的一些内容 费马小定理：假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。 逆元：对于a和p，若a*b%p≡1，则称b为a%p的逆元。 定义什么的...
逆元
weixin_30735745的博客
09-13 131
逆元 什么是逆元？ 对于整数a，若ax=1(mod p)，则称x为a模p意义下的逆元 逆元有什么用？ 一般地，逆元用来实现取模下的除法 对我们知道a*(1/a)=1，在模p意义下a*x mod p=1，所以x可以看做是模p意义下的1/a 逆元的求法 1、扩展欧几里得算法 ax=1(mod p)可以化为ax-py=1，可以用扩展欧几里得算法求出x 2、费马小定理 根据费马小定理，对于...
求a/b的逆元
while_you的博客
03-20 500
int x=inv(b,mod-2)%mod; int ans=a*x%mod ans即为a/b关于mod的逆元
逆元运算（除法取模）
卑鄙的我
05-04 8626
一、简介 逆元：ax≡1（mod p）当a和p互质时，方程的解 x 称为a关于p的逆元， 在普通的四则运算中，只有加减乘三种运算可以根进行分别取余运算，因为这三种运算都是从低位到高位的运算，而对于除法是从高位到低位的运算，显然不能直接进行取余，这时候，就要用到逆元有关的运算。 逆元可以近似的看作倒数的概念 二、应用 例如， 如果要求（x / y）%p ，显然不可以（x%p）/（y...
除法逆元取模（费马小定理 | | 卢卡斯定理）
TA很酷的博客
06-03 571
一直对逆元的知识半知半解。。。 逆元定义 若在 mod p 意义下，对于一个整数 a ，有 a*x=1(mod p); 那么这个这个整数x即为a的乘法逆元。a也为x的乘法逆元。 充分必要条件：gcd（a，p）=1mod p；即a p互质。 用到的知识点： 费马小定理 ： 假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。 通常情况下，p均为质数，则公约数为1的情况基本都
除法取模和逆元
zhj_fly的博客
07-27 761
对于正整数和，如果有，那么把这个同余方程中的最小正整数解叫做模的逆元。 如果要求a/b%m， 下面是三种求逆元的方法： 1、如果m为素数，可以根据费马小定理得到逆元为。 推理： 2、当a和m互质时，可以用拓展欧几里德定理求。
乘法逆元(除法取模)
AcmHonor的专栏
08-09 6533
当我们要求（a/b） mod p的值，且 a 很大，无法直接求得a/b的值时，我们就要用到乘法逆元。 满足 b * k≡1 (mod p) 的 k 的值就是 b 关于 p 的乘法逆元。 我们可以通过求 b 关于 p 的乘法逆元 k，将 a 乘上 k 再模 p，即 (a*k) mod p。其结果与(a/b) mod p等价。证: 因为 b * k ≡ 1 (mod p) 则有 b * k
同余与逆元
最新发布
07-26
### 同余关系的定义与性质 同余关系是数论中的一个基本概念，用于描述两个整数在除以某个模数后余数相同的情况。具体来说，若两个整数 $a$ 和 $b$ 在除以正整数 $m$ 时余数相同，则称 $a$ 与 $b$ 对模 $m$ 同余，记作： $$ a \equiv b \pmod{m} $$ 同余关系具有以下基本性质： 1. **自反性**：对于任意整数 $a$，有 $a \equiv a \pmod{m}$。 2. **对称性**：若 $a \equiv b \pmod{m}$，则 $b \equiv a \pmod{m}$。 3. **传递性**：若 $a \equiv b \pmod{m}$ 且 $b \equiv c \pmod{m}$，则 $a \equiv c \pmod{m}$。 此外，同余关系还支持加法、减法和乘法运算，即若 $a \equiv b \pmod{m}$ 且 $c \equiv d \pmod{m}$，则有： - $a + c \equiv b + d \pmod{m}$ - $a - c \equiv b - d \pmod{m}$ - $a \cdot c \equiv b \cdot d \pmod{m}$ 这些性质使得同余关系在数论和密码学中具有广泛应用[^1]。 ### 模逆元的定义与条件 模逆元（Modular Multiplicative Inverse）是指在模运算中，给定整数 $a$ 和模数 $m$，若存在整数 $x$ 使得： $$ a \cdot x \equiv 1 \pmod{m} $$ 则称 $x$ 是 $a$ 对模 $m$ 的乘法逆元，记作 $a^{-1} \pmod{m}$。模逆元存在的必要条件是 $a$ 与 $m$ 互质，即 $\gcd(a, m) = 1$。如果 $a$ 与 $m$ 不互质，则不存在模逆元。 模逆元在数论中具有重要作用，特别是在模运算中需要进行“除法”操作时。由于模运算不支持直接除法，因此可以通过乘以模逆元来实现类似功能。例如，在模 $p$ 下计算 $\frac{a}{b}$ 可以转化为计算 $a \cdot b^{-1} \pmod{p}$ [^2]。 ### 同余与模逆元在数论中的应用 1. **线性同余方程求解** 线性同余方程的形式为 $a \cdot x \equiv b \pmod{m}$，其解的存在性与模逆元密切相关。若 $\gcd(a, m) = 1$，则 $a$ 存在模逆元 $a^{-1}$，此时方程的唯一解为 $x \equiv a^{-1} \cdot b \pmod{m}$。若 $\gcd(a, m) = d$ 且 $d \mid b$，则方程有 $d$ 个解，可通过扩展欧几里得算法求解。 2. **模运算中的除法** 在模运算中无法直接进行除法，但可以通过模逆元实现。例如，在模 $p$ 下计算 $\frac{a}{b}$ 等价于计算 $a \cdot b^{-1} \pmod{p}$。这一特性在密码学中的椭圆曲线加密、RSA 加密等算法中被广泛应用。 3. **费马小定理与欧拉定理的应用** 费马小定理指出，若 $p$ 是质数且 $a$ 不被 $p$ 整除，则 $a^{p-2} \pmod{p}$ 是 $a$ 对模 $p$ 的模逆元。欧拉定理则推广了这一结论，若 $\gcd(a, m) = 1$，则 $a^{\phi(m)-1} \pmod{m}$ 是 $a$ 对模 $m$ 的模逆元，其中 $\phi(m)$ 是欧拉函数。 4. **密码学中的应用** 模逆元在现代密码学中扮演着关键角色。例如，在 RSA 加密算法中，私钥的生成涉及计算模逆元，以确保加密与解密过程的正确性。此外，模逆元也用于数字签名、密钥交换等场景。 ### 示例：使用 Python 计算模逆元 以下是一个使用扩展欧几里得算法计算模逆元的 Python 示例： ```python def extended_gcd(a, b): if b == 0: return a, 1, 0 else: g, x, y = extended_gcd(b, a % b) return g, y, x - (a // b) * y def mod_inverse(a, m): g, x, y = extended_gcd(a, m) if g != 1: return None # 不存在模逆元 else: return x % m # 示例：计算 3 在模 7 下的逆元 print(mod_inverse(3, 7)) # 输出 5，因为 3 * 5 ≡ 1 (mod 7) ```
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