【数论】同余（二）：逆元

default111

已于 2022-03-14 23:06:56 修改

阅读量1.1k

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：算法竞赛文章标签： c++ 数学算法

于 2022-03-11 14:25:32 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/default012/article/details/123424024

算法竞赛专栏收录该内容

31 篇文章

订阅专栏

同余问题共7part，我的博客链接：

基本概念与性质
逆元：概念、求解方法与推导
线性同余方程
高次同余方程：BSGS算法（大小步算法、拔山盖世算法）
快速幂与矩阵快速幂

逆元

定义： $\gcd(a,m)=1,ax\equiv 1(\mod m)$ ， $x$ 的解即为 $a$ 的逆。

分数逆元： $\frac{a}{b}\mod m=a\cdot b^{-1} \mod m$

方法一：费马小定理

定理： $\gcd(a,m)=1,m为素数\Rightarrow a^{m-1}\equiv 1(\mod m)\Leftrightarrow a\cdot a^{m-2}\equiv 1(\mod m)$

用快速幂求 $a^{p-2}$ 即可。

inline ll inv(int a) { return qpow(a, m - 2, m); }

方法二：拓展欧几里得

$a\cdot inv(a)\equiv 1(\mod m)$ ，拓展欧几里得解出答案，注意防止负数即可。

inline ll inv(ll a)
{
    ll x, y, d;
    exgcd(a, m, d, x, y);
    return d == 1 ? (x % m + m) % m : -1; // 不互质无解
}

方法三：线性递推

将 $m$ 表示为 $m = k x + y$ ，其中 $k=\lfloor m/x\rfloor,y=m\%x$ 。
则 $kx+y\equiv 0(\mod m)$ ，同乘 $i n v (x) i n v (y)$ ，则有
$k\cdot inv(y)+inv(x)\equiv 0(\mod m)$
得 $inv(x)\equiv -k\cdot inv(y)(\mod m)$
令 $inv(x)=-k\cdot inv(y)=-\lfloor m/x\rfloor\cdot inv(m\%x)\mod m$
即一个数的逆元可由一个比它小的数的推出来。把负数消掉即可。

注： $m$ 可不是素数

// inv[1...last]是1...last的逆元
inline void init(ll inv[], ll last, ll m)
{
    inv[1] = 1;
    for (ll i = 2ll; i <= last;i++)
        inv[i] = (m - m / i) * inv[m % i] % m;
}