2同余——北邮《信息安全数学基础》

最新推荐文章于 2024-11-16 21:13:06 发布

秃头feng

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分类专栏：北邮网安《信息安全数学基础》文章标签：学习安全

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一、同余的概念及基本性质

1、概念

正整数m，如果 $m|a-b$ 则 $a\equiv b(mod\ m)$

2、定理

（1） $a\equiv b(mod\ m)\Leftrightarrow a=b+km$

（2）①自反性 $a\equiv a(mod\ m)$

②对称性若 $a\equiv b(mod\ m)$ 则 $b\equiv a(mod\ m)$

③传递性若 $a\equiv b(mod\ m)$ ， $b\equiv c(mod\ m)$ 则 $a\equiv c(mod\ m)$

（3） $a\equiv b(mod\ m)\Leftrightarrow a\%m=b\%m$

（4）若 $a_{1}\equiv b_{1}(mod\ m),a_{2}\equiv b_{2}(mod\ m)$

则① $a_{1}\pm a_{2}\equiv b_{1}\pm b_{2}(mod\ m)$

② $a_{1}a_{2}\equiv b_{1}b_{2}(mod\ m)$

例、今天是星期五，那么 $2^{2023}$ 天后时星期几？

解： $2^{1}\equiv 2,2^{2}\equiv 2,2^{3=}= 8\equiv 2\ mod\ 7$

$2003=667*3+2$

所以 $2^{2003}=(2^{3})^{667}*2^{2}\equiv 1^{667}*4\equiv 4\ mod\ 7$

故是星期三。

（5） $n=a_{k}10^{k}+a_{k-1}10^{k-1}+...+a_{1}10+a_{0}$

① $3|n\Leftrightarrow 3|a_{k}+...+a_{0}$

② $9|n\Leftrightarrow 9|a_{k}+...+a_{0}$

例、n=637693，因为6+3+7+6+9+3=30（就是把n每位上的数加起来）， $3\mid30,9\nmid 30$ ，所以 $3\mid n,9\nmid n$ 。

（6） $n=a_{k}1000^{k}+a_{k-1}1000^{k-1}+...+a_{1}1000+a_{0}$

$7(11,13)|n\Leftrightarrow 7(11,13)|(a_{0}+a_{2}+...)-(a_{1}+a_{3}+...)$

例、 $n=75312289\Rightarrow a_{0}=289,a_{1}=312,a_{2}=75\Rightarrow(a_{0}+a_{2}) -a_{1}=52,7\nmid 52,11\mid 52,13\mid 52\Rightarrow 7\nmid n,11\mid n,13\mid n$

（7） $ad\equiv bd(mod\ m),(d,m)=1\Rightarrow a\equiv b(mod\ m)$

（8） $a\equiv b(mod\ m)\Rightarrow d>0,ad\equiv bd(mod\ m)$

（9） $a\equiv b(mod\ m),d|(a,b,m)\Rightarrow \frac{a}{d}\equiv \frac{b}{d}(mod\ \frac{m}{d})$

（10） $a\equiv b(mod\ m),d|m\Rightarrow a\equiv b(mod\ d)$

（11） $a\equiv b(mod\ m_{i}),i=1,2,...,k\Rightarrow a\equiv b(mod\ [m_{1},...,m_{k}])$

（12） $a\equiv b(mod\ m)\Rightarrow (a,m)=(b,m)$

二、剩余类及完全剩余系

1、定理

（1）设m是一个正整数，则

①任一整数必包含在一个 Cr 中，0 ≤ r < m-1

② $C_{a}=C_{b}\Leftrightarrow a\equiv b(mod \ m)$

③ $C_{a}\cap C_{b}=\varnothing \Leftrightarrow a\not\equiv b(mod\ m)$

2、定义

Ca叫做模m的a的剩余类。

一个剩余类中的任一数叫该类的剩余或代表元。

若 $r_{0},...,r_{m-1}$ 共m个整数，并且其中任何两个数都不在同一剩余类，则 $r_{0},...,r_{m-1}$ 叫模m的一个完全剩余系。

3、定理

（2） $r_{0},...,r_{m-1}$ 是模m的一个完全剩余系 $\Leftrightarrow$ 他们模m两两不同余

例、

最小非负完全剩余系0,1,...,m-1

最小正完全剩余系1,2,...,m

最大非正完全剩余系-(m-1),...,-1,0

最大负完全剩余系-m,...,-1

绝对值最小完全剩余系

m偶 -m/2,-(m-2)/2,...,-1,0,1,...,(m-2)/2或 -(m-2)/2,...,-1,0,1,...,(m-2)/2,m/2

m奇 -(m-1)/2,...,-1,0,1,...,(m-1)/2

（3）（a，m）= 1，若k是遍历模m的一个完全剩余系，则对于任意b，ak+b也是

（4）m1，m2互素，k1，k2分别遍历m1，m2的完全剩余系，则m2·k1+m1·k2遍历m1·m2

例、

例、m1 = 2，m2 = 5，求 k3 遍历 m1·m2

解：k3 = k1·m2 + k2·m1

故k3 = 0,2,4,6,8,5,7,9,1,3

三、简化剩余系与欧拉函数

1、欧拉函数

（1）定义

$\varphi (m)$ ：m个正整数 0,1,...,m-1 中与m互素的整数个数。

注：p为素数，则 $\varphi (p)=p-1$ （！！！！这个很重要，经常会用到！！！！）

（2）定理

对于素数幂 $m=p^{\alpha }$ ，有 $\varphi (m)=p^{\alpha }-p^{\alpha -1}=m\prod_{p|m}^{}(1-\frac{1}{p})$

2、简化剩余类与简化剩余系

（1）定义

一个模m的剩余类叫做简化剩余类，如果该类中存在一个与m互素的剩余，这时，简化剩余类中的剩余叫做简化剩余。

注：①简化剩余类的定义与剩余的选取无关

②两个简化剩余的乘积仍为简化剩余

（2）定理

② $r_{1},r_{2}$ 是同一模m剩余类的两个剩余，则 $(r_{1},m)=1\Leftrightarrow (r_{2},m)=1$

（3）定义

在模m的所有不同简化剩余类中，从每个类中任取一个数组成的集合，叫做模m的一个简化剩余系。

例、设正整数m，则：

最小非负完全剩余系 0,1,...,m-1中与m互素的整数

最小正完全剩余系 1,2,...,m中与m互素的整数

最大非正完全剩余系 -(m-1),...,-1,0中与m互素的整数

最大负完全剩余系 -m,...,-1中与m互素的整数

绝对值最小完全剩余系

m偶 -m/2,-(m-2)/2,...,-1,0,1,...,(m-2)/2中与m互素的整数

或 -(m-2)/2,...,-1,0,1,...,(m-2)/2,m/2中与m互素的整数

m奇 -(m-1)/2,...,-1,0,1,...,(m-1)/2中与m互素的整数

（4）定理

④若 (a,m) = 1，k 是遍历模 m 的一个简化剩余系，则 ak 也是。

例、

⑤若 (a,m) = 1，则存在一个 a'，1 ≤ a' < m 使 $aa'\equiv 1 (mod \ m)$ 。

证明： $\because (a,m)=1, sa+tm=(a,m)=1 \therefore a'\equiv s(mod\ m)$

（这个证明很重要！！！！a' 的求法就是用贝祖等式求 s 即为 a' ）

例、已知 m = 737，a = 635，求 a'

解：

$(737,635)=(635,102)=(102,23)=(23,10)=(10,3)=(3,1)=1\\ \\ 1\\=3-2*1\\=3-2*(10-3*3)\\=7*3-2*10\\=7*(23-2*10)-2*10\\=7*23-16*10\\=7*23-16*(102-4*23)\\=71*23-16*102\\=71*(625-6*102)-16*102\\=71*635-442*102\\=71*635-442*(737-1*635)\\=513*635-442*737\\\\ \therefore a'\equiv 513(mod\ 737)$

（这个方法可能会有点麻烦，如果大家有更好的方法，欢迎大家在评论区留言）

⑥ (m1,m2) = 1，如果 k1, k2 分别遍历模 m1, m2 的简化剩余系，则 m2*k1 + m1*k2 遍历 m1*m2

3、欧拉函数性质

（1） $(m,n)=1\Rightarrow \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)$

（！！！！！这个公式超级超级超级无敌重要！！！！！）

需要注意的是，前提条件一定是 m, n 互素！！！！！

例、

$\varphi (77)=\varphi (7*11)=\varphi (7)\varphi (11)=(7-1)(11-1)=60\\\\ \varphi (30)=\varphi (2)\varphi (3)\varphi (5)=1*2*4=8$

（2） p, q 是不同素数，则 $\varphi (pq)=\varphi(p) \varphi(q)=(p-1)(q-1)$

四、三大定理

1、欧拉定理

$(a,m)=1\Rightarrow a^{\varphi (m)}\equiv 1(mod\ m)$

2、费马小定理

p为素数，有 $a^{p}\equiv a(mod\ p)$

推论：p为素数，则 $a^{t+k(p-1)}\equiv a^{t} (mod\ p)$

3、Wilson定理

p为素数，则 $(p-1)!\equiv -1(mod\ p)$

例、计算 $2^{20040118}(mod\ 7)$

解：

$2^{\varphi (7)}=2 ^{6}\equiv 1\\\\ 2 ^{3}=8\equiv 1\\\\^{} 2^{20040118}=2^{4+\square *6}\equiv 2^{4}=2^{3}*2\equiv 2\ mod\ 7$

五、模重复平方计算法

计算 $b^{n}\ mod\ m$

该计算法较为复杂且计算量巨大，考试是不许使用计算器的，所以考的可能不太大，但仍需了解，以备不时之需，一旦考了即使因数过大计算不出来，也可以把步骤写对，这样不会扣很多分。

六、总结

1、同余

同余的概念和一些定理在计算中也会用到，请掌握。

两个典型题为：

（1）今天是星期几，*****天后是星期几。

这种题解决办法有很多，请至少掌握一种。

（2）给一个数，问你能不能被3，9，7，11整除。

2、剩余类和剩余系

给你一个数，让你写出最小非负、最小正、最大非正、最大负、绝对值最小。

3、欧拉函数概念及性质

两个重要性质在计算中经常用到，请务必熟练，考试一定会涉及到。

4、三大定理

欧拉、费马小（尤其是推论）经常会用到，请一定要掌握，Wilson也有考的可能性，就一个简单的公式还是记住吧。需要注意的是，三大定理的证明也是考点，但由于篇幅有限和忙着课程就没有呈现，在此向大家抱歉，如果时间充足的话请自行翻阅教材查看证明过程，最好能自己证一遍，记忆会很深刻，也有助于对知识更深刻理解。

感谢大家的观看！！！