3、混沌动力学中的分离线映射与随机层研究

混沌动力学中的分离线映射与随机层研究

1. 梅尔尼科夫积分与分离线映射

首先，我们来看一个重要的表达式：
[
\Delta E(\tau_n) = -\epsilon \int_{\tau_n - \infty}^{\tau_n + \infty} dt \dot{x} s \frac{\partial V}{\partial x_s}
]
这个表达式是一个梅尔尼科夫积分，我们将分离线上的被积函数作为一阶近似。$E_n$ 的值是在两个连续时间瞬间 $(\tau {n - 1}, \tau_n)$ 之间获得的，因为在时间瞬间 $\tau_n$ 无法确定 $E_n$。

利用无量纲变量，分离线映射可以重写为：
[
\begin{cases}
h_{n + 1} = h_n + \Delta h(\tau_n) \
\tau_{n + 1} = \tau_n + \frac{\pi}{\omega(h_{n + 1})}
\end{cases}
]
其中，
[
\Delta h(\tau_n) = -\frac{\epsilon}{E_s} \int_{\tau_n - \infty}^{\tau_n + \infty} dt \dot{x}_s \frac{\partial V}{\partial x_s}
]
是无量纲的梅尔尼科夫积分。分离线映射是保面积的，变量 $(h, \tau)$ 是正则共轭对。

2. 随机层的形成与特性

为了理解 $\Delta h(\tau_n)$ 的行为，我们考虑