12、混沌、对称与多维自由度系统中的动力学研究

混沌、对称与多维自由度系统中的动力学研究

1. 混沌与对称基础

在研究中，当 $K > K(0) {\alpha}$ 时，六边形中心的椭圆点会失去稳定性。以 $q = 3$ 或 $\alpha = 2\pi/3$ 为例，$K(0) {\alpha}= 2\sqrt{3} = 1.1547…$。若忽略图形的某些“精细”细节，六边形会变为矩形，随机网络的对称性也会相应改变。当 $K > K(0)_{\alpha}$ 时，随机网络会占据矩形之间的狭窄区域，如具有砖墙对称性的网络。

随机网络映射 $\hat{M}_q$ 可用于平面镶嵌，当 $q \in {q_c}$ 时，具有晶体类型的任意阶 $q$ 对称性；当 $q \notin {q_c}$ 时，具有准晶体类型的对称性。镶嵌方法主要有两种：一种是先获取骨架，再进行镶嵌算法；另一种是直接使用系统的相图，通过去除一些细节或平滑特殊轨道（如随机网络）来简化。需要注意的是，网络单元内的部分相图可能与网络本身具有完全不同的对称性，甚至可能没有特殊对称性。在网络的中心单元内，存在各种随机层，它们通过不变曲线相互分离，并与随机网络分离。

二维 $q$ 重对称镶嵌可看作是相图装饰的结果，装饰指的是选择和/或改变相图某些元素的规则。例如，对图 8.4.1（$q = 5$）中的骨架进行装饰，可将其转换为彭罗斯镶嵌。

2. 随机网络宽度计算

为计算随机网络的宽度，使用旋转参考系中哈密顿量 $\tilde{H}$ 的表示（8.3.6）。以 $q = 4$ 为例，通过公式推导：
- 由（8.3.6）可得 $\tilde{H} \approx H_4 + V_4$，其中 $H