38、复杂动力系统中的微观混沌与多稳定性研究

复杂动力系统中的微观混沌与多稳定性研究

1. 微观混沌（Microchaos）

微观混沌映射由以下方程描述：
[x(t_{j + 1}) = ax(t_j) - b\text{Int}(x(t_j))]
其中，(a = \exp(k\Delta t) > 1)，(b = Gk(1 - \exp(k\Delta t)))。该映射会根据(a)和(b)的值产生混沌和瞬态混沌动力学。

这个方程可以通过多种方式推导得出，例如结合特定方程并在区间([t_j, t_{j + 1}))上求解。目前，有两种情况被广泛研究：
- 情况一：(0 < a - b < 1) ：此时映射会产生微观混沌。当(x_j)较大时，(x_{j + 1})总是减小，从这个意义上说，系统在“大尺度”上是稳定的。然而，固定点(0)是不稳定的，所以系统在“小尺度”上是不稳定的。“微观混沌”这一术语的由来是因为混沌动力学被限制在靠近(0)的一个小区域内。
- 情况二：(a - b < -1) ：尽管固定点在局部和全局都是不稳定的，但仍有可能存在稳定的微观混沌解。此外，还可能出现瞬态微观混沌解，这里的“瞬态微观混沌”指的是在向无穷大发散之前，在靠近(0)的地方暂时存在的亚稳解。

下面用表格总结微观混沌的两种情况：
|情况|条件|特点|
| ---- | ---- | ---- |
|情况一|(0 < a - b < 1)|大尺度稳定，小尺度不稳定，混沌动力学局限在(0)附近小区域|
|情况二|(a - b < -1)|固定点局部和全局