16、伪混沌动力学与相关系统研究

伪混沌动力学与相关系统研究

1. 伪混沌动力学示例

伪混沌动力学填补了混沌和规则动力学之间的空白，展示了统计和热力学定律起源的新特征。研究具有零 Lyapunov 指数的系统不仅具有应用价值，还能让我们更深入地理解动力学的本质。

1.1 多边形台球系统

在多边形台球系统中，动力学具有敏感性和一定的随机性，尽管初始接近的轨迹的分散是多项式的。对于这些台球，Lyapunov 指数为零，混合较弱。

例如，图 12.2.1 展示了一些具有不同散射体的多边形台球。我们可以在提升空间中考虑这些台球，即散射体在两个方向上周期性延续，这样的系统被称为“广义洛伦兹气体”。

统计性质的研究可以从两个方面进行：
- 研究基本单元中轨迹的性质，例如 Poincaré 返回到小相体积的分布。
- 研究提升空间中粒子的扩散。

对于图 12.2.1 中的系统，一个重要的问题是我们想要了解其统计性质的集合的结构。以图 12.2.1(b) 中的方内方台球为例，有理轨迹（具有有理切线）是周期性的，它们不能形成统计集合，而无理轨迹（具有无理的 tan ϑ，ϑ 是轨迹与水平边之间的角度）可以。我们将统计集合视为大量无理轨迹的集合。

1.2 方内方台球的统计性质

图 12.2.3 展示了图 12.2.1(b) 中方内方台球的动力学以及提升空间中的相应传输性质。
- Poincaré 返回到分布 ：$P(t) \sim 1/t^{\gamma}$，$t \to \infty$，显示出幂律尾部，$\gamma \approx 2.7$。
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