3、混沌系统中的分离线与随机层研究

混沌系统中的分离线与随机层研究

1. 梅尔尼科夫积分与分离线映射

在研究混沌系统时，梅尔尼科夫积分是一个重要的工具。表达式 $\Delta E(\tau_n) = -\epsilon \int_{\tau_n - \infty}^{\tau_n + \infty} dt \dot{x}_s \frac{\partial V}{\partial x_s}$ 是一个梅尔尼科夫积分，这里我们将分离线上的被积函数作为一阶近似。

分离线映射可以表示为：
[
\begin{cases}
h_{n + 1} = h_n + \Delta h(\tau_n) \
\tau_{n + 1} = \tau_n + \frac{\pi}{\omega(h_{n + 1})}
\end{cases}
]
其中，$\Delta h(\tau_n) = -\frac{\epsilon}{E_s} \int_{\tau_n - \infty}^{\tau_n + \infty} dt \dot{x}_s \frac{\partial V}{\partial x_s}$ 是无量纲的梅尔尼科夫积分。这个分离线映射是保面积的，变量 $(h, \tau)$ 构成了一对正则共轭变量。

下面通过一个流程图来展示分离线映射的计算过程：

graph LR
    A[输入 h_n, τ_n] --> B[计算 Δh(τ_n)]
    B --> C[计算 h_{n + 1} = h_n + Δh(τ_n)]
    C --> D[计算 ω(h_{n +